Путаница с обратным

Путаница с обратным, также называемая ошибкой условной вероятности или обратная ошибка - это логическая ошибка, по которой условная вероятность приравнивается к своей обратной ошибке; то есть, учитывая два события A и B, вероятность того, что A произойдет, при условии, что B произошло, предполагается примерно такой же, как вероятность B для A, когда фактически нет доказательств для этого предположения. Более формально предполагается, что P (A | B) приблизительно равно P (B | A).

• 1 Примеры
  • 1.1 Пример 1
  • 1.2 Пример 2
    • 1.2.1 Расчеты
    • 1.2.2 Вывод
• 2 См. Также
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

Пример 1

В одном исследовании врачей попросили указать шансы злокачественности с 1% априорной вероятностью возникновения. Тест может обнаружить 80% злокачественных новообразований и имеет 10% ложноположительных результатов. Какова вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста? Примерно 95 из 100 врачей ответили, что вероятность злокачественного новообразования составит около 75%, по-видимому, потому, что врачи полагали, что шансы злокачественного новообразования при положительном результате теста примерно такие же, как вероятность положительного результата теста при злокачественном образовании.

Правильная вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста, как указано выше, составляет 7,5%, полученная с помощью теоремы Байеса :

$P\; (злокачественный\; |\; позитивный)\; =\; P\; (позитивный\; |\; злокачественный)\; P\; (злокачественный)\; P\; (\; положительный\; |\; злокачественный)\; P\; (злокачественный)\; +\; P\; (положительный\; |\; доброкачественный)\; P\; (доброкачественный)\; =\; (0,80\; \cdot \; 0,01)\; (0,80\; \cdot \; 0,01)\; +\; (0,10\; \cdot \; 0,99)\; =\; 0,075\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\}\; \backslash \; qquad\; P\; (\{\backslash \; text\; \{malignant\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{positive\}\})\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{malignant\}\})\; P\; (\{\backslash \; text\; \{malignant\}\})\}\; \{P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{malignant\}\})\; P\; (\{\backslash \; text\; \{malignant\}\})\; +\; P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{benign\}\})\; P\; (\{\backslash \; text\; \{benign\}\})\}\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(0.80\; \backslash \; cdot\; 0.01)\}\; \{(0.80\; \backslash \; cdot\; 0.01)\; +\; (0.10\; \backslash \; cdot\; 0,99)\}\}\; =\; 0,075\; \backslash \; end\; \{align\; ed\}\}\}$

Другие примеры путаницы:

• потребители сильных наркотиков склонны употреблять марихуану ; следовательно, потребители марихуаны склонны употреблять сильнодействующие наркотики (первая вероятность - это употребление марихуаны при употреблении тяжелых наркотиков, вторая - употребление тяжелых наркотиков при употреблении марихуаны).
• Большинство несчастных случаев происходит в пределах 25 миль от дома; следовательно, вы в большей безопасности, когда находитесь далеко от дома.
• Террористы, как правило, имеют инженерное образование; Итак, инженеры имеют тенденцию к терроризму.

Чтобы узнать о других ошибках условной вероятности, см. задачу Монти Холла и ошибку базовой ставки. Сравните с незаконной конверсией.

Пример 2

Для выявления лиц, страдающих серьезным заболеванием в ранней излечимой форме можно рассмотреть возможность обследования большой группы людей. Хотя преимущества очевидны, аргументом против таких обследований является нарушение, вызванное ложноположительными результатами скрининга: если у человека, не страдающего этим заболеванием, будет неправильно установлено его при первоначальном обследовании, он, скорее всего, будет расстроен, и даже если он впоследствии пройдут более тщательный тест, и им скажут, что они здоровы, но это может отрицательно сказаться на их жизни. Если они прибегнут к ненужному лечению болезни, они могут пострадать из-за побочных эффектов и затрат на лечение.

Масштабы этой проблемы лучше всего понять с точки зрения условных вероятностей.

Предположим, что 1% группы страдает заболеванием, а остальные здоровы. При случайном выборе человека

$P\; (плохо)\; =\; 1\%\; =\; 0,01\; и\; P\; (хорошо)\; =\; 99\%\; =\; 0,99.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\}\})\; =\; 1\; \backslash \%\; =\; 0,01\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; P\; (\{\backslash \; text\; \{well\}\})\; =\; 99\; \backslash \%\; =\; 0,99.\}$

Предположим, что когда скрининговый тест применяется к человеку, не имеющему заболевания, вероятность получения ложноположительного результата составляет 1% (и, следовательно, вероятность получения истинно отрицательного результата 99%), то есть

$P\; (положительный\; |\; хорошо)\; =\; 1\%,\; а\; P\; (отрицательный\; |\; хорошо)\; =\; 99\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{well\}\})\; =\; 1\; \backslash \%,\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; P\; (\{\backslash \; text\; \{negative\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{well\}\})\; =\; 99\; \backslash \%.\}$

Наконец, предположим, что когда тест применяется к человеку, страдающему заболеванием, существует 1% вероятность ложноотрицательного результата (и 99% вероятность получения истинно положительного результата), т.е.

$P\; (отрицательный\; |\; плохой)\; =\; 1\%\; и\; P\; (положительный\; |\; плохой)\; =\; 99\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{negative\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{ill\}\})\; =\; 1\; \backslash \%\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{ill\}\})\; =\; 99\; \backslash \%.\}$

Расчеты

Доля людей во всей группе, у которых хорошее состояние и отрицательный результат теста (истинно отрицательный):

$P\; (лунка\; \cap \; отрицательная)\; =\; P\; (лунка)\; \times \; P\; (отрицательный\; |\; лунка)\; =\; 99\%\; \times \; 99\%\; =\; 98,01\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{well\}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{negative\}\})\; =\; P\; (\{\backslash \; text\; \{well\}\})\; \backslash \; times\; P\; (\{\backslash \; text\; \{negative\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{well\; \}\})\; =\; 99\; \backslash \%\; \backslash \; times\; 99\; \backslash \%\; =\; 98.01\; \backslash \%.\}$

Доля людей во всей группе, которые больны и имеют положительный результат теста (истинно положительный результат):

$P\; (больной\; \cap \; положительный\; результат)\; =\; P\; (плохо)\; \times \; P\; (положительно\; |\; плохо)\; =\; 1\%\; \times \; 99\%\; =\; 0,99\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{positive\}\})\; =\; P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\}\})\; \backslash \; times\; P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{ill\; \}\})\; =\; 1\; \backslash \%\; \backslash \; times\; 99\; \backslash \%\; =\; 0,99\; \backslash \%.\}$

Доля людей во всей группе, у которых были ложноположительные результаты:

$P\; (хорошо\; \cap \; положительный)\; =\; P\; (хорошо)\; \times \; P\; (положительный\; |\; хорошо)\; =\; 99\%\; \times \; 1\%\; =\; 0,99\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{well\}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{positive\}\})\; =\; P\; (\{\backslash \; text\; \{well\}\})\; \backslash \; times\; P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{хорошо\; \}\})\; =\; 99\; \backslash \%\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \%\; =\; 0,99\; \backslash \%.\}$

Доля людей во всей группе, у которых были ложноотрицательные результаты:

$P\; (плохо\; \cap \; отрицательно)\; =\; P\; (плохо)\; \times \; P\; (отрицательный\; |\; плохо)\; =\; 1\%\; \times \; 1\%\; =\; 0,01\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{negative\}\})\; =\; P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\}\})\; \backslash \; times\; P\; (\{\backslash \; text\; \{negative\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{ill\; \}\})\; =\; 1\; \backslash \%\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \%\; =\; 0,01\; \backslash \%.\}$

Кроме того, доля лиц во всей группе с положительным результатом теста:

$P\; (положительный\; результат)\; =\; P\; (хорошо\; положительный\; результат)\; +\; P\; (плохо\; положительный)\; =\; 0,99\%\; +\; 0,99\%\; =\; 1,98\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\; (\{\backslash \; text\; \{positive\}\})\; \{\}\; =\; P\; (\{\backslash \; text\; \{well\}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{positive\}\})\; +\; P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\; \}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{positive\}\})\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; 0,99\; \backslash \%\; +\; 0,99\; \backslash \%\; =\; 1,98\; \backslash \%.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Наконец, вероятность того, что у человека действительно есть болезнь, учитывая, что результат теста положительный:

$P\; (плохо\; |\; положительный)\; =\; P\; (плохо\; \cap \; положительный)\; P\; (положительный)\; =\; 0,99\%\; 1,98\%\; =\; 50\%.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\}\}\; |\; \{\backslash \; text\; \{positive\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (\{\backslash \; text\; \{ill\}\}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{positive\}\})\}\; \{P\; (\{\; \backslash \; text\; \{positive\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{0.99\; \backslash \%\}\; \{1.98\; \backslash \%\}\}\; =\; 50\; \backslash \%.\}$

Заключение

В этом примере должно быть легко связать к разнице между условными вероятностями P (положительный | плохо), которая с предполагаемыми вероятностями составляет 99%, и P (плохо | положительно), которая составляет 50%: первая - это вероятность того, что индивидуум, у которого есть болезнь, дает положительный результат; второй - вероятность того, что человек с положительным результатом теста действительно болен. Таким образом, с вероятностями, выбранными в этом примере, примерно такое же количество людей получит преимущества раннего лечения, как и те, кто обеспокоен ложными срабатываниями; эти положительные и отрицательные эффекты можно затем учитывать при принятии решения о проведении скрининга или, если возможно, о корректировке критериев теста для уменьшения количества ложноположительных результатов (возможно, за счет большего количества ложноотрицательных результатов).

• Конверс (логика)
• Заблуждение прокурора

• Виллежубер, Гаэль; Мандель, Дэвид (2002). «Обратная ошибка: отчет об отклонениях от теоремы Байеса и принципа аддитивности». Память и познание. 30 (5): 171–178. doi : 10.3758 / BF03195278.
• Эдди, Дэвид М. (1982). Вероятностные рассуждения в клинической медицине: проблемы и возможности. В Д. Канеман, П. Слович и А. Тверски (Ред.) Суждение в условиях неопределенности: эвристика и предубеждения (стр. 249–267). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета.
• ; Робин Доус (2001). Рациональный выбор в неопределенном мире. ISBN 978-0-7619-2275-9.
• Плюс, Скотт (1993). Психология суждения и принятия решений. ISBN 978-0-07-050477-6.