Таблица условной вероятности

В статистике, таблица условной вероятности (CPT) определена для набора дискретных и взаимно зависимых случайных величин для отображения условных вероятностей единственная переменная по отношению к другим (т.е. вероятность каждого возможного значения одной переменной, если мы знаем значения, принимаемые другими переменными). Например, предположим, что есть три случайные величины $x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\}$, где каждая имеет $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$состояний. Затем таблица условной вероятности $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$предоставляет значения условной вероятности $P\; (x\; 1\; =\; ak\; \mid \; x\; 2,\; x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x\_\; \{1\}\; =\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; mid\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\})\}$- где вертикальная черта $|\; \{\backslash \; displaystyle\; |\}$означает «с учетом значений» - для каждого из K возможных значений $ak\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{k\}\}$переменной $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$и для каждой возможной комбинации значений $x\; 2,\; x\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\},\; \backslash ,\; x\_\; \{3\}.\}$В этой таблице $K\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{3\}\}$ячеек. Как правило, для $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$переменных $x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; x\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{M\}\}$с состояниями $K\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{i\}\}$для каждой переменной $xi,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\},\}$CPT для любого из них имеет количество ячеек, равное произведению $K\; 1\; K\; 2\; \cdots \; KM.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\; K\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; K\_\; \{M\}.\}$

Таблица условной вероятности может быть преобразована в форму матрицы. В качестве примера только с двумя переменными значения $P\; (x\; 1\; =\; ak\; \mid \; x\; 2\; =\; bj)\; =\; T\; kj,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x\_\; \{1\}\; =\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; mid\; x\_\; \{2\})\; =\; b\_\; \{j\})\; =\; T\_\; \{kj\},\}$с k и j в диапазоне значений K, создать матрицу K × K. Эта матрица является стохастической матрицей , поскольку сумма столбцов равна 1; то есть $\sum \; К\; T\; К\; J\; =\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; T\_\; \{kj\}\; =\; 1\}$для всех j. Например, предположим, что две двоичные переменные x и y имеют совместное распределение вероятностей, указанное в этой таблице:

Каждая из четырех центральных ячеек показывает вероятность конкретной комбинации значений x и y. Сумма первого столбца - это вероятность того, что x = 0 и y равно любому из возможных значений, то есть сумма столбца 6/9 - это предельная вероятность того, что x = 0. Если мы хотим найти вероятность того, что y = 0 при x = 0, мы вычисляем долю вероятностей в столбце x = 0, которые имеют значение y = 0, что составляет 4/9 ÷ 6/9 = 4 / 6. Точно так же в том же столбце мы находим, что вероятность того, что y = 1 при x = 0, составляет 2/9 ÷ 6/9 = 2/6. Таким же образом мы можем найти условные вероятности для y, равного 0 или 1, при условии, что x = 1. Объединение этих частей информации дает нам эту таблицу условных вероятностей для y:

С более чем одним условием переменной, в таблице по-прежнему будет одна строка для каждого потенциального значения переменной, условные вероятности которой должны быть указаны, и будет один столбец для каждой возможной комбинации значений условных переменных.

Более того, количество столбцов в таблице может быть существенно увеличено, чтобы отображать вероятности интересующей переменной при определенных значениях только некоторых, а не всех других переменных.