Составной пуассоновский процесс

редактировать

A составной пуассоновский процесс - это непрерывный (случайный) случайный процесс со скачками. Скачки прибывают случайным образом в соответствии с пуассоновским процессом, и размер скачков также является случайным с заданным распределением вероятностей. Составной процесс Пуассона, параметризованный скоростью $λ>0 {\ displaystyle \ lambda>0}$ $\lambda>0$ и распределение размера прыжка G - это процесс ${Y (t): t ≥ 0} {\ displaystyle \ {\, Y (t): t \ geq 0 \, \}}$ $\ {\, Y (t): t \ geq 0 \, \}$ , задаваемый

Y (t) = ∑ я = 1 N (t) D я {\ displaystyle Y (t) = \ sum _ {я = 1} ^ {N (t)} D_ {i}}

Y (t) = \ sum_ {i = 1} ^ {N (t)} D_i

где, ${N (t): t ≥ 0} {\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}}$ $\ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}$ - это подсчет пуассоновского процесса со скоростью $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ и ${ D i: i ≥ 1} {\ displaystyle \ {\, D_ {i}: i \ geq 1 \, \}}$ $\ {\, D_ {i}: i \ geq 1 \, \}$ - независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения G, которые также являются не зависит от ${N (t): t ≥ 0}. {\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}. \,}$ $\ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}. \,$

Когда $D i { \ displaystyle D_ {i}}$ $D_i$ - неотрицательные целочисленные случайные величины, тогда это составное пуассоновское пр. Процесс известен как заикание пуассоновского процесса, который имеет особенность, заключающуюся в том, что два или более события происходят за очень короткое время.

Свойства составного процесса Пуассона

ожидаемое значение составного процесса Пуассона можно рассчитать с использованием результата, известного как уравнение Вальда, как:

E ⁡ (Y (t)) = E ⁡ (D 1 + ⋯ + DN (t)) = E ⁡ (N (t)) E ⁡ (D 1) = E ⁡ (N (t)) E ⁡ (D) = λ t E ⁡ (D). {\ Displaystyle \ OperatorName {E} (Y (t)) = \ OperatorName {E} (D_ {1} + \ cdots + D_ {N (t)}) = \ operatorname {E} (N (t)) \ operatorname {E} (D_ {1}) = \ operatorname {E} (N (t)) \ operatorname {E} (D) = \ lambda t \ operatorname {E} (D).}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (Y (t)) = \ operatorname {E} (D_ {1} + \ cdots + D_ {N (t)}) = \ operatorname {E} (N (t)) \ operatorname {E} (D_ {1}) = \ operatorname {E} (N (t)) \ operatorname {E} ( D) = \ lambda t \ operatorname { E} (D).}

Аналогичное использование закона полной дисперсии , дисперсия может быть рассчитана как:

var ⁡ (Y (t)) = E ⁡ (var ⁡ (Y (t) ∣ N (t))) + var ⁡ (E ⁡ (Y (t) ∣ N (t))) = E ⁡ (N (t) var ⁡ (D)) + var ⁡ (N (t) E ⁡ (D)) = var ⁡ (D) E ⁡ (N (t)) + E ⁡ (D) 2 var ⁡ (N (t)) = var ⁡ (D) λ t + E ⁡ (D) 2 λ t = λ t (var ⁡ (D) + E ⁡ (D) 2) = λ t E ⁡ (D 2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {var} (Y (t)) = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (Y (t) \ mid N (t))) + \ operatorname { var} (\ operatorname {E} (Y (t) \ mid N (t))) \\ [5pt] = \ operatorname {E} (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) \ operatorname {E} (D)) \\ [5pt] = \ operatorname {var} (D) \ operatorname {E} (N (t)) + \ operatorname {E} ( D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) \\ [5pt] = \ operatorname {var} (D) \ lambda t + \ operatorname {E} (D) ^ {2} \ lambda t \\ [5pt] = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + \ operatorname {E} (D) ^ {2}) \\ [5pt] = \ lambda t \ operatorname {E} (D ^ {2}). \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {var} (Y (t)) = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (Y (t) \ mid N (t))) + \ operatorname {var} (\ operatorname {E} (Y (t) \ mid N (t))) \\ [5pt] = \ operatorname {E} (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) \ operatorname {E} (D)) \\ [5pt] = \ operatorname {var} (D) \ operatorname {E} ( N (t)) + \ operatorname {E} (D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) \\ [5pt] = \ operatorname {var} (D) \ lambda t + \ operatorname { E} (D) ^ {2} \ lambda t \\ [5pt] = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + \ operatorname {E} (D) ^ {2}) \\ [5pt] = \ lambda t \ operatorname {E} (D ^ {2}). \ end {align}}}

Наконец, используя закон полной вероятности , функция создания момента может быть задана следующим образом:

Pr (Y (T) = я) знак равно ∑ N Pr (Y (T) = я ∣ N (T) = N) Pr (N (T) = N) {\ Displaystyle \ Pr (Y (t) = я) = \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \ Pr (N (t) = n)}

{\ displaystyle \ Pr (Y (t) = i) = \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N ( t) = n) \ Pr (N (t) = n)}

E ⁡ (es Y) = ∑ iesi Pr ( Y (t) = i) = ∑ iesi ∑ n Pr (Y (t) = i ∣ N (t) = n) Pr (N (t) = n) = ∑ n Pr (N (t) = n) ∑ iesi Pr (Y (t) = i ∣ N (t) = n) = ∑ n Pr (N (t) = n) ∑ iesi Pr (D 1 + D 2 + ⋯ + D n = i) = ∑ n Pr (N (t) = n) MD (s) n = ∑ n Pr (N (t) = n) en ln ⁡ (MD (s)) = MN (t) (ln ⁡ (MD (s))) = e λ t (MD (s) - 1). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} (e ^ {sY}) = \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i) \\ [5pt] = \ sum _ {i} e ^ {si} \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \ Pr (N (t) = n) \\ [5pt ] = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \\ [5pt] = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ cdots + D_ { n} = i) \\ [5pt] = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) M_ {D} (s) ^ {n} \\ [5pt] = \ sum _ { n} \ Pr (N (t) = n) e ^ {n \ ln (M_ {D} (s))} \\ [5pt] = M_ {N (t)} (\ ln (M_ {D}) (s))) \\ [5pt] = e ^ {\ lambda t \ left (M_ {D} (s) -1 \ right)}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} (e ^ {sY}) = \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i) \\ [5pt ] = \ sum _ {i} e ^ {si} \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \ Pr (N (t) = n) \\ [5pt] = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \\ [5pt] = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ cdots + D_ {n} = i) \\ [5pt] = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) M_ {D} (s) ^ {n} \\ [5pt] = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) e ^ {n \ ln (M_ {D} (s))} \\ [5pt] = M_ {N ( t)} (\ ln (M_ {D} (s))) \\ [5pt] = e ^ {\ lambda t \ left (M_ {D} (s) -1 \ right)}. \ end {выровнено }}}

Возведение в степень меры

Пусть N, Y и D такие же, как указано выше. Пусть μ - вероятностная мера, в соответствии с которой распределена D, т.е.

μ (A) = Pr (D ∈ A). {\ displaystyle \ mu (A) = \ Pr (D \ in A). \,}

\ mu (A) = \ Pr (D \ в A). \,

Пусть δ 0 будет тривиальным распределением вероятности, при котором вся масса равна нулю. Тогда распределение вероятностей Y (t) является мерой

exp ⁡ (λ t (μ - δ 0)) {\ displaystyle \ exp (\ lambda t (\ mu - \ delta _ { 0})) \,}

\ exp (\ lambda t (\ mu - \ delta_0)) \,

где экспонента exp (ν) конечной меры ν на борелевских подмножествах вещественной прямой определяется как

exp ⁡ ( ν) = ∑ n = 0 ∞ ν ∗ nn! {\ Displaystyle \ ехр (\ nu) = \ сумма _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ nu ^ {* n} \ over n!}}

\ exp (\ nu) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {\ nu ^ {* n} \ over n!}

ν ∗ n = ν ∗ ⋯ ∗ ν ⏟ n факторов {\ displaystyle \ nu ^ {* n} = \ underbrace {\ nu * \ cdots * \ nu} _ {n {\ text {factor}}}}

\ nu ^ {* n} = \ underbrace {\ nu * \ cdots * \ nu} _ {n \ text {факторы}}

- это свертка мер, и ряд сходится слабо.

См. Также

процесс Пуассона
Распределение Пуассона
Составное распределение Пуассона
Неоднородный процесс Пуассона
Дробный процесс Пуассона
Формула Кэмпбелла для производящей функции момента составного пуассоновского процесса