Узлы Чебышева

Узлы Чебышева эквивалентны x-координатам n равноотстоящих точек на единичном полукруге (здесь n = 10).

В числовом анализе, узлы Чебышева являются конкретными действительными алгебраическими числами, а именно корнями полиномов Чебышева первый вид. Они часто используются в качестве узлов в полиномиальной интерполяции, потому что результирующий полином интерполяции минимизирует эффект явления Рунге.

• 1 Определение
• 2 Приближение
• 3 Примечания
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература

Нули первых 50 многочленов Чебышева первого рода

Для заданного положительного целого числа n узлы Чебышева в интервале (- 1, 1) равны

$xk\; =\; cos\; \; (2\; k\; -\; 1\; 2\; n\; \pi ),\; k\; =\; 1,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2k-1\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; k\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n.\}$

Это корни полинома Чебышева первого рода степени n. Для узлов в произвольном интервале [a, b] можно использовать аффинное преобразование :

$xk\; =\; 1\; 2\; (a\; +\; b)\; +\; 1\; 2\; (b\; -\; a)\; cos\; \; (2\; k\; -\; 1\; 2\; n\; \pi ),\; k\; =\; 1,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (a\; +\; b)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (ba)\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2k-1\})\; \{2n\}\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; k\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n.\}$

Чебышёвские узлы важны в теории приближений, потому что они образуют особенно хороший набор узлов для полиномиальной интерполяции. Дана функция ƒ на интервале $[-\; 1,\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-1,\; +\; 1]\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$точек $x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\},\}$в этом интервале полином интерполяции этот уникальный многочлен $P\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n-1\}\}$степени не выше $n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1\}$который имеет значение $f\; (xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{i\})\}$в каждой точке $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$. Ошибка интерполяции в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$составляет

$f\; (x)\; -\; P\; n\; -\; 1\; (x)\; =\; f\; (n)\; (\xi )\; n!\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; (Икс\; -\; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (х)\; -P\_\; \{N-1\}\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{f\; ^\; \{(п)\}\; (\backslash \; xi)\}\; \{п!\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (x-x\_\; \{i\})\}$

для некоторого $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$(в зависимости от x) в [−1, 1]. Поэтому логично попытаться минимизировать

$max\; x\; \in \; [-\; 1,\; 1]\; |\; \prod \; я\; =\; 1\; п\; (х\; -\; х\; я)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; max\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; [-1,1]\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (x-x\_\; \{i\})\; \backslash \; right\; |.\}$

Этот продукт является моническим многочленом степени n. Можно показать, что максимальное абсолютное значение (максимальная норма) любого такого многочлена ограничено снизу числом 2. Эта граница достигается масштабированными многочленами Чебышева 2 T n, которые также являются моническими. (Напомним, что | T n (x) | ≤ 1 для x ∈ [−1, 1].) Следовательно, когда узлы интерполяции x i являются корнями T n, ошибка удовлетворяет

$|\; f\; (x)\; -\; P\; n\; -\; 1\; (x)\; |\; \le \; 1\; 2\; n\; -\; 1\; n!\; max\; \xi \; \in \; [-\; 1,\; 1]\; |\; f\; (n)\; (\xi )\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; е\; (х)\; -P\_\; \{n-1\}\; (x)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n-1\}\; n!\}\}\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; xi\; \backslash \; in\; [-1,1]\}\; \backslash \; left\; |\; f\; ^\; \{(n)\}\; (\backslash \; xi)\; \backslash \; right\; |.\}$

Для произвольного интервала [a, b] замена переменной показывает, что

$|\; f\; (x)\; -\; P\; n\; -\; 1\; (x)\; |\; \le \; 1\; 2\; n\; -\; 1\; n!\; (b\; -\; a\; 2)\; n\; max\; \xi \; \in \; [a,\; b]\; |\; f\; (n)\; (\xi )\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; е\; (х)\; -P\_\; \{n-1\}\; (x)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n-1\}\; n!\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; ba\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; xi\; \backslash \; in\; [a,\; b]\}\; \backslash \; left\; |\; f\; ^\; \{(n)\}\; (\backslash \; xi)\; \backslash \; right\; |.\}$

1. ^Ллойд Н. Трефетен, Теория приближений и практика приближений (SIAM, 2012). Интернет: https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ATAP/
2. ^Финк, Куртис Д. и Джон Х. Мэтьюз. Численные методы с использованием MATLAB. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, 1999. 3-е изд. С. 236-238.
3. ^Стюарт (1996), (20.3)
4. ^Стюарт (1996), Лекция 20, §14

• Стюарт, Гилберт В. (1996), Примечания по численному анализу, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8-е изд., Страницы 503–512, ISBN 0-534-39200-8.