Векторное поле Бельтрами

В векторном исчислении, векторное поле Бельтрами, названное в честь Эухенио Бельтрами, это векторное поле в трех измерениях, параллельное его собственному локону. То есть F является векторным полем Бельтрами при условии, что

$F\; \times \; (\nabla \; \times \; F)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\})\; =\; 0.\}$

Таким образом, $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$и $\nabla \; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$- параллельные векторы, другими словами, $\nabla \; \times \; F\; =\; \lambda \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$.

Если $F\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$является соленоидальным, то есть если $\nabla \; \cdot \; F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; 0\}$например, для несжимаемой жидкости или магнитного поля, тождество $\nabla \; \times \; (\nabla \; \times \; F)\; \equiv \; -\; \nabla \; 2\; F\; +\; \nabla \; (\nabla \; \cdot \; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; F\})\; \backslash \; Equiv\; -\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; +\; \backslash \; nabla\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\})\}$становится $\nabla \; \times \; (\nabla \; \times \; F)\; \equiv \; -\; \nabla \; 2\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\})\; \backslash \; Equiv\; -\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$и это приводит к

$-\; \nabla \; 2\; F\; знак\; равно\; \nabla \; \times \; (\lambda \; F)\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; ti\; mes\; (\backslash \; lambda\; \backslash \; mathbf\; \{F\})\}$

и если мы дополнительно предположим, что $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- константа, мы придем к простой форме

$\nabla \; 2\; F\; =\; -\; \lambda \; 2\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}.\}$

Векторные поля Бельтрами с ненулевым ротором соответствуют евклидовым контактным формам в три измерения.

Векторное поле

$F\; =\; -\; z\; 1\; +\; z\; 2\; i\; +\; 1\; 1\; +\; z\; 2\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; z\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; z\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\}$

кратно стандартному контакту структура −z i+ j, и дает пример векторного поля Бельтрами.

• поток Бельтрами
• Комплексное ламеллярное векторное поле
• Консервативное векторное поле

• Aris, Rutherford (1989), Векторы, тензоры, и основные уравнения механики жидкости, Dover, ISBN 0-486-66110-5
• Лахтакия, Ахлеш (1994), Поля Бельтрами в хиральных средах, Мир Scientific, ISBN 981-02-1403-0
• Etnyre, J.; Грист, Р. (2000), «Контактная топология и гидродинамика. I. Поля Бельтрами и гипотеза Зейферта», Нелинейность, 13 (2): 441–448, Bibcode : 2000Nonli..13..441E, doi :10.1088/0951-7715/13/2/306.