Теория Аткина – Ленера

В математике теория Аткина – Ленера является частью теории модульных форм, описывающих, когда они возникают на заданном целочисленном уровне N таким образом, что теория операторов Гекке может быть расширена на более высокие уровни.

Теория Аткина – Ленера основана на концепции новой формы, которая представляет собой куспид «новая» на данном уровне N, где уровни являются вложенные подгруппы конгруэнции :

$\Gamma \; 0\; (N)\; =\; \{(abcd)\; \in \; SL\; (2,\; Z):\; c\; \equiv \; 0\; (mod\; N)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; c\; d\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{SL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}):\; c\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{N\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

из модульной группы, где N упорядочено по делимости. То есть, если M делит N, Γ 0 (N) является подгруппой в Γ 0 (M). старые формы для Γ 0 (N) - это те модулярные формы f (τ) уровня N вида g (d τ) для модулярных форм g уровня M с M собственным делитель N, где d делит N / M. Новые формы определяются как векторное подпространство модульных форм уровня N, дополняющее пространство, охватываемое старыми формами, то есть ортогональное пространство по отношению к внутреннему произведению Петерсона.

Операторы Гекке, которые действуют в пространстве всех кусп-форм, сохраняют подпространство новых форм и являются самосопряженными и коммутирующими операторами (относительно внутреннего произведения Петерсона) при ограничении этим подпространством. Следовательно, алгебра операторов на новых формах, которые они порождают, является конечномерной C * -алгеброй, которая является коммутативной; и согласно спектральной теории таких операторов, существует базис для пространства новых форм, состоящего из собственных форм для полной алгебры Гекке.

Рассмотрим Делитель Холла e числа N, что означает, что не только e делит N, но также e и N / e взаимно просты (часто обозначаются e || N). Если N имеет s различных простых делителей, то у N 2 холловых делителя; например, если N = 360 = 2⋅3⋅5, 8 делителей Холла N равны 1, 2, 3, 5, 2⋅3, 2⋅5, 3⋅5 и 2⋅3⋅5.

Для каждого делителя Холла e числа N выберите интегральную матрицу W e вида

$W\; e\; =\; (aebc\; N\; de)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{e\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; ae\; b\; \backslash \backslash \; cN\; de\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

с det W e = e. Эти матрицы обладают следующими свойствами:

• Элементы W e нормализуют Γ 0 (N): то есть, если A находится в Γ 0 (N), то W eAW. eнаходится в Γ 0 (N).
• Матрица W. e, имеющая определитель e, может быть записана как eA, где A находится в Γ 0 (N). Нас будут интересовать операторы на параболических формах, возникающие в результате действия W e на Γ 0 (N) путем сопряжения, при котором и скаляр e, и матрица A действуют тривиально. Следовательно, равенство W. e= eA означает, что действие W e сводится к тождеству; по этой причине полученный оператор называется инволюцией Аткина – Ленера .
• . Если e и f оба являются холловыми делителями N, то W e и W f коммутируют по модулю Γ 0 (N). Более того, если мы определим g как дивизор Холла g = ef / (e, f), их произведение будет равно W g по модулю Γ 0 (N).
• Если бы мы выбрали другую матрицу W ′ e вместо W e, то оказалось бы, что W e ≡ W ′ e по модулю Γ 0 (N), поэтому W e и W ′ e будут определять одну и ту же инволюцию Аткина – Ленера.

Мы можем резюмировать их свойства следующим образом. Рассмотрим подгруппу GL (2, Q ), порожденную Γ 0 (N) вместе с матрицами W e ; пусть Γ 0 (N) обозначает его фактор по положительным скалярным матрицам. Тогда Γ 0 (N) - нормальная подгруппа в Γ 0 (N) индекса 2 (где s - количество различных простых делителей N); фактор-группа изоморфна (Z/2Z) и действует на касп-формах через инволюции Аткина – Ленера.

• Мокану, Андреа. (2019). "Теория Аткина-Ленера Γ 1 (m) -модулярных форм "
• Аткин, AOL ; Ленер, Дж. (1970)," Операторы Гекке " на Γ 0 (м) ", Mathematische Annalen, 185 (2): 134–160, doi : 10.1007 / BF01359701, ISSN 0025-5831, MR 0268123
• Коитиро Харада (2010) «Самогон» конечных групп, стр. 13, Европейское математическое общество ISBN 978-3-03719-090-6 MR 2722318