Войти
мозаика Пенроуза является примером апериодической мозаики; каждая мозаика, которую он может создать, лишена трансляционной симметрии.апериодическая мозаика - это непериодическая мозаика с дополнительным свойством, заключающимся в том, что она не содержит произвольно больших периодических фрагментов. Набор типов тайлов (или прототипов ) является апериодическим, если копии этих тайлов могут образовывать только непериодические тайлинги. мозаики Пенроуза - самые известные примеры апериодических мозаик.
Апериодические мозаики служат математическими моделями для квазикристаллов, физических твердых тел, которые были открыты в 1982 году Дэном Шехтманом, который впоследствии получил Нобелевскую премию в 2011 году. местная структура этих материалов еще плохо изучена.
Известно несколько методов построения апериодических мозаик.
Рассмотрим периодическое разбиение на единичные квадраты (это выглядит как бесконечная миллиметровка ). Теперь разрежьте один квадрат на два прямоугольника. Полученный таким образом тайлинг непериодичен: нет ненулевого сдвига, который оставил бы тайлинг фиксированным. Но очевидно, что этот пример гораздо менее интересен, чем мозаика Пенроуза. Чтобы исключить такие скучные примеры, можно определить апериодический тайлинг, который не содержит сколь угодно больших периодических частей.
Тайлинг называется апериодическим, если его оболочка содержит только непериодические мозаики. Элемент мозаики 
Чтобы дать еще более простой пример, чем приведенный выше, рассмотрим одномерное разбиение T линии, которое выглядит как... aaaaaabaaaaa... где a представляет интервал длины один, b представляет интервал длины два. Таким образом, мозаика T состоит из бесконечного числа копий a и одной копии b (скажем, с центром 0). Теперь все переводы T - это мозаики с одним b где-то и as else. Последовательность мозаик, где b с центром в 
Для корректных мозаик (например, тайлинга с подстановкой с конечным числом локальных шаблонов) выполняется: если тайлинг является непериодические и (то есть каждое пятно происходит определенным образом на протяжении всего тайлинга), то оно апериодично.
Первое конкретное появление апериодических мозаик возникло в 1961 году, когда логик Хао Ван попытался определить, разрешима ли проблема домино - то есть существует ли алгоритм для определения того, допускает ли данный конечный набор прототипов мозаичное покрытие плоскости. Ван нашел алгоритмы для перечисления наборов тайлов, которые не могут покрывать плоскость мозаикой, и наборов тайлов, которые периодически покрывают ее; тем самым он показал, что такой алгоритм решения существует, если каждый конечный набор прототипов, допускающий разбиение плоскости, также допускает периодическое разбиение. В 1964 году Роберт Бергер нашел апериодический набор прототипов, на основе которых он продемонстрировал, что проблема мозаики на самом деле неразрешима. Этот первый такой набор, использованный Бергером в его доказательстве неразрешимости, потребовал 20 426 плиток Ванга. Позже Бергер сократил свой набор до 104 и впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Ванга. Еще меньший набор из шести апериодических плиток (основанный на плитках Ванга) был обнаружен Рафаэлем М. Робинсоном в 1971 году. Роджер Пенроуз обнаружил еще три набора в 1973 и 1974 годах, уменьшив количество элементов, необходимых для двух, и Роберт Амманн открыл несколько новых наборов в 1977 году.
Апериодические мозаики Пенроуза могут быть сгенерированы не только с помощью апериодического набора прототипов, но и с помощью заменой и методом вырезать и спроектировать. После открытия квазикристаллов апериодические мозаики стали интенсивно изучаться физиками и математиками. Проектный метод Н.Г. де Брейн для мозаик Пенроуза в конечном итоге оказался примером теории множеств Мейера. Сегодня существует большое количество литературы по апериодическим мозаикам.
Известно несколько конструкций апериодических мозаик. Некоторые конструкции основаны на бесконечных семействах апериодических наборов плиток. Те конструкции, которые были обнаружены, в основном построены несколькими способами, в первую очередь, путем создания некой непериодической иерархической структуры. Несмотря на это, неразрешимость проблемы домино гарантирует, что должно быть бесконечно много различных принципов построения и что фактически существуют апериодические наборы плиток, для которых не может быть доказательство их апериодичности.
На сегодняшний день не существует формального определения, описывающего, когда мозаика имеет иерархическую структуру; тем не менее, ясно, что они есть у подстановочных мозаик, как и у мозаик Бергера, Кнута и Робинсона. Как и сам термин «апериодическая мозаика», термин «апериодическая иерархическая мозаика» является удобным сокращением, означающим что-то вроде «набора плиток, допускающих только непериодические мозаики с иерархической структурой».
Каждый из этих наборов плиток, в любом допускаемом им мозаичном покрытии, создает определенную иерархическую структуру. (Во многих более поздних примерах эта структура может быть описана как система листов подстановки; это описано ниже). Никакая мозаика, допускаемая таким набором плиток, не может быть периодической просто потому, что ни один перенос не может оставить неизменной всю иерархическую структуру. Рассмотрим плитки Робинсона 1971 года:
Плитки Робинсона Любая мозаика по этим плиткам может отображать только иерархию квадратных решеток: каждый оранжевый квадрат находится в углу большего оранжевого квадрата до бесконечности. Любое преобразование должно быть меньше некоторого размера квадрата, и поэтому не может оставаться неизменным такой тайлинг.
Часть тайлов Робинсона Робинсон доказывает, что эти плитки должны формировать эту структуру индуктивно; в действительности плитки должны образовывать блоки, которые сами по себе подходят друг к другу, как более крупные версии исходных плиток, и так далее. Эта идея - нахождение наборов плиток, которые могут допускать только иерархические структуры - использовалась на сегодняшний день при построении наиболее известных апериодических наборов плиток.
Замещающие тайловые системы предоставляют богатый источник апериодических тайлингов. Говорят, что набор плиток, который вызывает появление структуры замещения, обеспечивает соблюдение структуры замещения. Например, плитки стульев, показанные ниже, допускают замену, а часть плитки замены показана справа внизу. Эти мозаики подстановки обязательно непериодичны, точно так же, как описано выше, но сама плитка кресла не является апериодической - периодические мозаики легко найти по неотмеченным плиткам стульев.
Система мозаики замены кресла. Однако плитки, показанные ниже, вызывают появление структуры замены кресла, и поэтому сами по себе апериодичны.
Плитки Trilobite и Cross обеспечивают замену кресла структура - они могут допускать только мозаики, в которых можно различить замену стула, и поэтому являются апериодическими. Плитки Пенроуза, а вскоре после этого несколько различных наборов плиток Аммана, были первым примером, основанным на явном принуждении структуры плитки замены к появляются., Роджер Пенроуз, Людвиг Данцер и Хаим Гудман-Штраус нашли несколько последующих наборов. Шахар Мозес дал первую общую конструкцию, показывающую, что каждый продукт одномерных систем замещения может быть реализован с помощью правил сопоставления. Чарльз Радин обнаружил правила, обеспечивающие выполнение подстановки Конвея-вертушки система плитки. В 1998 году Гудман-Штраус показал, что можно найти локальные правила сопоставления для принудительного использования любой структуры листов замещения при некоторых мягких условиях.
Непериодические мозаики также могут быть получены путем проецирования многомерных структур в пространства с более низкой размерностью, и при некоторых обстоятельствах могут быть плитки, которые усиливают эту непериодическую структуру и поэтому являются апериодическими. Плитки Пенроуза являются первым и наиболее известным примером этого, как впервые было отмечено в новаторской работе де Брейна. Пока не существует полной (алгебраической) характеристики разбиений разрезания и проецирования, которые могут быть реализованы с помощью правил сопоставления, хотя известны многочисленные необходимые или достаточные условия.
Некоторые мозаики, полученные методом разрезания и проецирования. Все плоскости сечения параллельны той, которая определяет мозаику Пенроуза (четвертая мозаика на третьей линии). Все эти мозаики относятся к разным классам локального изоморфизма, то есть они локально различимы. Было найдено лишь несколько различных видов конструкций. Примечательно, что Яркко Кари дал апериодический набор плиток Ванга, основанный на умножении на 2 или 2/3 действительных чисел, закодированных строками плиток (кодировка связана с последовательностями Штурма, сделанными как различия последовательных элементов последовательностей Битти ), причем апериодичность в основном основана на том факте, что 2/3 никогда не равняется 1 ни для каких положительных целых чисел n и m. Позднее этот метод был адаптирован Гудманом-Штраусом для получения строго апериодического набора плиток на гиперболической плоскости. Шахар Мозес нашел множество альтернативных конструкций апериодических наборов плиток, некоторые из которых более экзотические настройки; например, в полупростом группах Ли. Блок и Вайнбергер использовали гомологические методы для построения апериодических наборов плиток для всех не- аменабельных многообразий. Джошуа Соколар также предложил другой способ навязать апериодичность с точки зрения чередования состояний. Обычно это приводит к гораздо меньшим наборам плиток, чем полученный из замен.
Апериодические мозаики считались математическими артефактами до 1984 года, когда физик Дэн Шехтман объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава, дающей четкую дифрактограмму. с однозначной пятикратной симметрией - значит, это должно было быть кристаллическое вещество с икосаэдрической симметрией. В 1975 г. Роберт Амманн уже расширил конструкцию Пенроуза до трехмерного эквивалента икосаэдра. В таких случаях термин «мозаика» означает «заполнение пространства». Фотонные устройства в настоящее время строятся как апериодические последовательности разных слоев, поэтому они апериодичны в одном направлении и периодичны в двух других. Квазикристаллические структуры Cd-Te, по-видимому, состоят из атомных слоев, в которых атомы расположены в плоской апериодической структуре. Иногда для таких апериодических структур имеет место энергетический минимум или максимум энтропии. Стейнхардт показал, что перекрывающиеся декагоны Гаммельта допускают применение принципа экстремальности и, таким образом, обеспечивают связь между математикой апериодической мозаики и структурой квазикристаллов. Волны Фарадея образуют большие участки апериодических структур. Физика этого открытия возродила интерес к несоразмерным структурам и частотам, предлагая связать апериодические мозаики с интерференционными явлениями.
Использован термин апериодический самыми разными способами в математической литературе по мозаикам (а также в других математических областях, таких как динамические системы или теория графов, с совершенно разными значениями). В отношении мозаик термин «апериодический» иногда использовался как синоним термина «непериодический». Непериодический тайлинг - это просто тайлинг, который не фиксируется никаким нетривиальным переносом. Иногда термин описывает - неявно или явно - мозаику, генерируемую апериодическим набором прототипов. Часто термин «апериодический» использовался нечетко для описания рассматриваемых структур, относясь к физическим апериодическим твердым телам, а именно квазикристаллам, или к чему-то непериодическому с неким глобальным порядком.
Использование слова «мозаика» также проблематично, несмотря на его прямое определение. Например, не существует единого разбиения Пенроуза : ромбы Пенроуза допускают бесконечно много мозаик (которые нельзя выделить локально). Распространенное решение - попытаться осторожно использовать термины в техническом письме, но признать широкое использование неформальных терминов.
