Теорема Альфорса о конечности

В математической теории клейновых групп теорема Альфорса о конечности описывает фактор области разрыва по конечно порожденной клейновой группе. Теорема была доказана Ларсом Альфорсом (1964, 1965), не считая пробела, который был восполнен Гринбергом (1967).

Теорема Альфорса о конечности утверждает, что если Γ - конечно порожденная клейнова группа с областью разрыва Ω, то Ω / Γ имеет конечное число компонент, каждая из которых является компактной римановой поверхностью с удаленным конечным числом точек.

Неравенство площадей Берса является количественным уточнением теоремы Альфорса о конечности, доказанной Липманом Берсом (1967a). Он утверждает, что если Γ - неэлементарная конечно порожденная клейнова группа с N образующими и с областью разрыва Ω, то

Area (Ω / Γ) ≤ 4π (N - 1)

с равенством только для Группы Шоттки. (Площадь задается метрикой Пуанкаре в каждой компоненте.) Более того, если Ω 1 - инвариантный компонент, то

Area (Ω / Γ) ≤ 2Area (Ω 1 / Γ)

с равенством только для фуксовых групп первого рода (так, в частности, может быть не более двух инвариантных компонент).

• Альфорс, Ларс В. (1964), «Конечно порожденные клейнианские группы», American Journal of Mathematics, 86: 413–429, doi : 10.2307 / 2373173, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373173, MR 0167618
• Альфорс, Ларс (1965), «Поправка к« конечно порожденным клейниановским группам »», American Journal of Mathematics, 87: 759, doi : 10.2307 / 2373073, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373073, MR 0180675
• Берс, Липман (1967a), «Неравенства для конечно генерируемых клейнианских группы ", Journal d'Analyse Mathématique, 18 : 23–41, doi : 10.1007 / BF02798032, ISSN 0021 -7670, MR 0229817
• Берс, Липман (1967b), «О теореме конечности Альфорса», American Journal of Mathematics, 89: 1078–1082, doi : 10.2307 / 2373419, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373419, MR 0222282
• Гринберг, Л. ( 1967), «Об одной теореме Альфорса и сопряженных подгруппах клейновых групп», Американский журнал математики, 89: 56–68, doi : 10.2307 / 2373096, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373096, MR 0209471

.