Расширенное z-преобразование

В математике и обработке сигналов расширенный z- transform является расширением z-transform для включения идеальных задержек, которые не кратны времени выборки. Он принимает вид

$F\; (z,\; m)\; =\; \sum \; K\; =\; 0\; \infty \; f\; (k\; T\; +\; m)\; z\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z,\; m)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (kT\; +\; m)\; z\; ^\; \{-\; k\}\}$

где

• T - период выборки
• m («параметр задержки») - это часть периода выборки $[0,\; Т].\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; T].\}$

Он также известен как модифицированное z-преобразование .

Расширенное z-преобразование широко применяется, например, для точного моделирования задержек обработки в цифровых control.

• 1 Свойства
  • 1.1 Линейность
  • 1.2 Временной сдвиг
  • 1.3 Демпфирование
  • 1.4 Умножение времени
  • 1.5 Теорема о конечном значении
• 2 Пример
• 3 Ссылки

Если параметр задержки m считается фиксированным, то все свойства z-преобразования сохраняются для расширенного z-преобразования.

Линейность

$Z\; \{k\; =\; 1\; n\; c\; k\; f\; k\; (t)\}\; =\; k\; =\; 1\; n\; c\; k\; F\; k\; (z,\; m).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{k\}\; f\_\; \{k\}\; (t)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{k\}\; F\_\; \{k\}\; (z,\; m).\}$

Временной сдвиг

$Z\; \{u\; (t\; -\; n\; T)\; f\; (t\; -\; n\; T)\}\; =\; z\; -\; n\; F\; (\; z,\; м).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{u\; (t-nT)\; f\; (t-nT)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; z\; ^\; \{-\; n\}\; F\; (z,\; m).\}$

Демпфирование

$Z\; \{f\; (t)\; e\; -\; at\}\; =\; e\; -\; am\; F\; (ea\; T\; z,\; m).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f\; (t)\; e\; ^\; \{-\; a\; \backslash ,\; t\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; e\; ^\; \{-\; a\; \backslash ,\; m\}\; F\; (e\; ^\; \{a\; \backslash ,\; T\; \}\; z,\; m).\}$

Умножение времени

$Z\; \{tyf\; (t)\}\; =\; (-\; T\; zddz\; +\; m)\; y\; F\; (z,\; m).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{t\; ^\; \{y\}\; f\; (t)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; \backslash \; left\; (-Tz\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dz\}\}\; +\; m\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; y\}\; F\; (z,\; m).\}$

Теорема о конечном значении

$lim\; k\; \to \; \infty \; f\; (k\; T\; +\; m)\; =\; lim\; z\; \to \; 1\; (1\; -\; z\; -\; 1)\; F\; (z,\; m).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{к\; \backslash \; к\; \backslash \; infty\}\; f\; (kT\; +\; m)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; 1\}\; (1-z\; ^\; \{-\; 1\})\; F\; (z,\; m).\}$

Рассмотрим следующий пример, где $f\; (t)\; =\; cos\; \; (\omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; t)\}$:

$F (z, m) = Z {cos ⁡ (ω (k T + m))} = Z {cos ⁡ (ω k T) cos ⁡ (ω m) - sin ⁡ (ω k T) sin ⁡ (ω m)} = cos ⁡ (ω m) Z {cos ⁡ (ω k T)} - sin ⁡ (ω m) Z {sin ⁡ (ω k T)} = cos ⁡ (ω m) z (z - cos ⁡ (ω T)) z 2 - 2 z cos ⁡ (ω T) + 1 - sin ⁡ (ω m) z sin ⁡ (ω T) z 2 - 2 z cos ⁡ (ω T) + 1 = z 2 cos ⁡ (ω m) - z соз ⁡ (ω (Т - м)) z 2 - 2 z cos ⁡ (ω T) + 1. {\ Displaystyle {\ begin {align} F (z, m) = {\ mathcal {Z}} \ left \ {\ cos \ left (\ omega \ left (kT + m \ right) \ right) \ right \ } \\ = {\ mathcal {Z}} \ left \ {\ cos (\ omega kT) \ cos (\ omega m) - \ sin (\ omega kT) \ sin (\ omega m) \ right \} \ \ = \ cos (\ omega m) {\ mathcal {Z}} \ left \ {\ cos (\ omega kT) \ right \} - \ sin (\ omega m) {\ mathcal {Z}} \ left \ {\ sin (\ omega kT) \ right \} \\ = \ cos (\ omega m) {\ frac {z \ left (z- \ cos (\ omega T) \ right)} {z ^ {2} -2z \ cos (\ omega T) +1}} - \ sin (\ omega m) {\ frac {z \ sin (\ omega T)} {z ^ {2} -2z \ cos (\ omega T) + 1}} \\ = {\ frac {z ^ {2} \ cos (\ omega m) -z \ cos (\ omega (Tm))} {z ^ {2} -2z \ cos (\ omega T) +1}}. \ End {align}}}$

Если $m\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 0\}$, то $F\; (z,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\; z,\; m)\}$сводится к преобразованию

$F\; (z,\; 0)\; =\; z\; 2\; -\; z\; cos\; \; (\omega \; T)\; z\; 2\; -\; 2\; z\; cos\; \; (\omega \; T)\; +\; 1,\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; F\; (z,\; 0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\; -z\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; T)\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; -2z\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; T)\; +1\}\},\}$

, что явно является Z-преобразованием $f\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\}$.

• Элиаху Ибрахам Джури, Теория и применение z -Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.