Абсолютное представление группы

В математике абсолютное представлениеявляется одним из методов определения group.

Напомним, что для определения группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$с помощью презентации нужно указать набор $S\; \{\; \backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \}$из генераторов , чтобы каждый элемент группы можно было записать как произведение некоторых из этих генераторов и набора $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \}$из отношениймежду этими генераторами. В символах:

$G\; \simeq \; ⟨S\; \mid \; R⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; simeq\; \backslash \; langle\; S\; \backslash \; mid\; R\; \backslash \; rangle.\}$

Неформально $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$- это группа, созданная набором $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \}$такой, что $r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1\; \backslash \}$для всех $r\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; R\}$. Но здесь имеется неявное предположение, что $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$является самой "свободной" такой группой, поскольку очевидно, что отношения удовлетворяются в любых гомоморфных изображение $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$. Один из способов избежать этого неявного предположения - указать, что некоторые слова в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \}$не должны быть равны $1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1.\}$То есть мы указываем набор $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \}$, называемый набором несоответствий, так что $я\; \ne \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; neq\; 1\; \backslash \}$для всех $i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; I\}$.

• 1 Формальное определение
• 2 Пример
• 3 Предпосылки
• 4 Ссылки

Чтобы определить абсолютное представление группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$, нужно указать набор $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \}$генераторов, набор $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \}$отношений между этими генераторами и набор $I\; \{\; \backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \}$несоответствий между этими генераторами. Затем мы говорим, что $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$имеет абсолютное представление

$⟨S\; \mid \; R,\; I⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; S\; \backslash \; mid\; R,\; I\; \backslash \; rangle.\}$

при условии, что:

1. $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$имеет presentation $⟨S\; \mid \; R⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; S\; \backslash \; mid\; R\; \backslash \; rangle.\}$
2. Для любого гомоморфизма $h:\; G\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; G\; \backslash \; rightarrow\; H\}$такой что несоответствия $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \}$удовлетворяются в $h\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (G)\; \backslash \}$, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \}$изоморфно $h\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (G)\; \backslash \}$.

Более алгебраический, но эквивалентный способ сформулировать условие 2:

2a. если $N\; ◃\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; треугольникleft\; G\; \backslash \}$является нетривиальной нормальной подгруппой из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$затем $I\; \cap \; N\; \ne \; \{1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; cap\; N\; \backslash \; neq\; \backslash \; left\; \backslash \; \{1\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Примечание:Концепция абсолютного представления оказалась плодотворной в таких областях, как алгебраически замкнутые группы и. В литературе, в контексте обсуждения абсолютных представлений, представление (в обычном смысле этого слова) иногда называют относительным представлением, которое является экземпляром ретронима ..

Циклическая группа порядка 8 имеет представление

$⟨a\; \mid \; a\; 8\; =\; 1⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{8\}\; =\; 1\; \backslash \; rangle.\}$

Но с точностью до изоморфизма есть еще три группы, которые "удовлетворяют" соотношению $a\; 8\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{8\}\; =\; 1\; \backslash ,\}$а именно:

$⟨a\; \mid \; a\; 4\; =\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{4\}\; =\; 1\; \backslash \; rangle\}$

$⟨a\; \mid \; a\; 2\; =\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; rangle\}$и

$⟨a\; \mid \; a\; =\; 1⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; mid\; a\; =\; 1\; \backslash \; rangle.\}$

Однако ни один из них не удовлетворяет несоответствию $a\; 4\; \ne \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{4\}\; \backslash \; neq\; 1\}$. Таким образом, абсолютное представление циклической группы порядка 8:

$⟨a\; \mid \; a\; 8\; =\; 1,\; a\; 4\; \ne \; 1⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{8\}\; =\; 1,\; a\; ^\; \{4\}\; \backslash \; neq\; 1\; \backslash \; rangle.\}$

Частью определения абсолютного представления является то, что несоответствия не выполняются ни в каком собственном гомоморфный образ группы. Следовательно:

$⟨a\; \mid \; a\; 8\; =\; 1,\; a\; 2\; \ne \; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{8\}\; =\; 1,\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; 1\; \backslash \; rangle\}$

Не является абсолютное представление для циклической группы порядка 8, потому что в циклической группе порядка 4 выполняется ирреляция $a\; 2\; \ne \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; 1\}$.>

Понятие абсолютного представления возникло в результате исследования Бернхарда Неймана проблемы изоморфизма для алгебраически замкнутых групп.

Общая стратегия определения того, являются ли две группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash ,\}$и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash ,\}$изоморфными заключается в рассмотрении вопроса о том, может ли презентация для одного быть преобразована в презентацию для другого. Однако алгебраически замкнутые группы не являются ни конечно порожденными, ни рекурсивно представлены, поэтому их представления невозможно сравнить. Нейман рассмотрел следующую альтернативную стратегию:

Предположим, мы знаем, что группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash ,\}$с конечным представлением $G\; =\; ⟨x\; 1,\; x\; 2\; \mid \; R⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; langle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; mid\; R\; \backslash \; rangle\}$может быть вложено в алгебраически замкнутую группу $G\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{\; *\}\; \backslash ,\}$тогда, учитывая другую алгебраически замкнутую группу $H\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; \backslash ,\}$, мы можем спросить: «Может ли $G\; \{\; \backslash \; displaystyle\; G\; \backslash ,\}$быть встроенным в $H\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; \backslash ,\}$? "

Вскоре становится очевидным, что презентация группы не содержит достаточно информации, чтобы принять это решение, поскольку может быть гомоморфизм $h:\; G\; \to \; H\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; G\; \backslash \; rightarrow\; H\; ^\; \{*\}\}$, этот гомоморфизм не обязательно должен быть вложением. Что необходимо, так это спецификация для $G\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{*\}\; \backslash ,\}$, которая «заставляет» любой гомоморфизм сохранять эту спецификацию как вложение. Абсолютное представление делает именно это.

1. ^ B. Нойман, Проблема изоморфизма для алгебраически замкнутых групп, в: Проблемы слов, проблемы принятия решений и проблема Бернсайда в теории групп, Амстердам-Лондон (1973), стр. 553–562.