Wolstenholme prime

В теории чисел, простое число Вольстенхолма - это особый тип простого числа, удовлетворяющий более сильной версии теоремы Вольстенхолма. Теорема Вольстенхолма - это отношение конгруэнтности, которому удовлетворяют все простые числа, большие 3. Простые числа Вольстенхолма названы в честь математика Джозефа Вольстенхолма, который первым описал эту теорему в 19 веке.

Интерес к этим простым числам впервые возник из-за их связи с последней теоремой Ферма. Простые числа Вольстенхольма также связаны с другими специальными классами чисел, изучаемыми в надежде на то, что они смогут обобщить доказательство истинности теоремы на все положительные целые числа больше двух.

Единственными двумя известными простыми числами Вольстенхолма являются 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS ). Нет других простых чисел Вольстенхолма меньше 10.

• 1 Определение
  • 1.1 Определение через биномиальные коэффициенты
  • 1.2 Определение через числа Бернулли
  • 1.3 Определение через нерегулярные пары
  • 1.4 Определение через гармонику числа
• 2 Поиск и текущий статус
• 3 Ожидаемое количество простых чисел Вольстенхолма
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Нерешенная проблема в математике :. Существуют ли какие-либо простые числа Вольстенхолма, кроме 16843 и 2124679? (больше нерешенных задач в математике)

Простое число Вольстенхолма может быть определено несколькими эквивалентными способами.

Определение через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхолма - это простое число p>7, удовлетворяющее конгруэнции

$(2\; p\; -\; 1\; p\; -\; 1)\; \equiv \; 1\; (mod\; p\; 4),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{2p-1\; \backslash \; choose\; p-1\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{4\}\}\},\}$

где выражение в левой части обозначает a биномиальный коэффициент. Для сравнения теорема Вольстенхольма утверждает, что для любого простого числа p>3 выполняется следующее сравнение:

$(2\; p\; -\; 1\; p\; -\; 1)\; \equiv \; 1\; (mod\; p\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{2p-1\; \backslash \; choose\; p-1\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

Определение с помощью чисел Бернулли

Простое число Вольстенхольма - это простое число p, делит числитель числа Бернулли B p − 3. Таким образом, простые числа Вольстенхолма образуют подмножество нерегулярных простых чисел.

Определение с помощью нерегулярных пар

Простое число Вольстенхолма - это простое число p, такое что (p, p – 3) является неправильной парой..

Определение с помощью гармонических чисел

Простое число Вольстенхолма - это простое число p, такое что

$H\; p\; -\; 1\; \equiv \; 0\; (mod\; p\; 3),\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{p-1\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\; \backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,,\}$

т.е. числитель номера гармоники $H\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{p-1\}\}$, выраженный в младших членах, делится на p.

Поиск простых чисел Вольстенхолма начался в 1960-х годах и продолжался в последующие десятилетия, а последние результаты были опубликованы в 2007 году. Первое простое число Вольстенхолма 16843 было найдено в 1964 году, хотя в то время об этом прямо не сообщалось. Открытие 1964 года было позже независимо подтверждено в 1970-х годах. Это оставалось единственным известным примером такого простого числа в течение почти 20 лет, пока не было объявлено об открытии второго простого числа Вольстенхолма 2124679 в 1993 году. До 1,2 × 10 никаких других простых чисел Вольстенхолма обнаружено не было. Позже Макинтош в 1995 году расширил это значение до 2 × 10, а Trevisan Weber смогли достичь 2,5 × 10. Последний результат по состоянию на 2007 год состоит в том, что существует только эти два простых числа Вольстенхольма до 10.

Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Вольстенхолма. Предполагается, что количество простых чисел Вольстенхольма ≤ x примерно ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для каждого простого p ≥ 5 фактор Вольстенхольма определяется как

$W\; p\; =\; (2\; p\; -\; 1\; p\; -\; 1)\; -\; 1\; p\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\; \{=\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{2p-1\; \backslash \; choose\; p-1\}\; -1\}\; \{p\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

Очевидно, p является простым числом Вольстенхолма тогда и только если W p ≡ 0 (mod p). Эмпирически можно предположить, что остатки W p по модулю p равномерно распределены в наборе {0, 1,..., p – 1}. Исходя из этого, вероятность того, что остаток примет конкретное значение (например, 0), составляет примерно 1 / p.

• простое число Вифериха
• простое число Уолла – Солнца – Солнца
• Уилсон прайм
• Таблица сравнений

• Колдуэлл, Крис К. Уолстенхолм прайм из Prime Glossary
• Макинтош, Р.Дж. Статус поиска в Вольстенхолме по состоянию на март 2004 г. электронное письмо Полу Циммерманну
• Брук, Р. Теорема Вольстенхольма, числа Стирлинга и Биномиальные коэффициенты
• Конрад, К. p-адический рост гармонических сумм интересное наблюдение, связанное с двумя простыми числами Вольстенхолма