Уравнения Вайнгартена

Уравнения Вайнгартена дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности через первые производные вектора положения этой поверхности. Эти формулы были установлены в 1861 году немецким математиком Юлиусом Вайнгартеном.

Пусть S - поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, параметризованная положением вектор r (u, v) поверхности. Пусть P = P (u, v) - неподвижная точка на этой поверхности. Тогда

$ru\; =\; \partial \; r\; \partial \; u,\; rv\; =\; \partial \; r\; \partial \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\}$

- два касательных вектора в точке P.

Пусть n будет единичным вектором нормали, и пусть (E, F, G) и (L, M, N) будут коэффициентами первого и второго фундаментальные формы этой поверхности соответственно. Уравнение Вейнгартена дает первую производную единичного вектора нормали n в точке P в терминах касательных векторов ruи rv:

$nu\; =\; FM\; -\; GLEG\; -\; F\; 2\; ru\; +\; FL\; -\; EMEG\; -\; F\; 2\; rv\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \_\; \{u\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{FM-GL\}\; \{EG-F\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{FL-EM\}\; \{EG-F\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{v\}\}$

$nv\; =\; FN\; -\; GMEG\; -\; F\; 2\; ru\; +\; FM\; -\; ENEG\; -\; F\; 2\; rv\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \_\; \{\; v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{FN-GM\}\; \{EG-F\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{FM-EN\}\; \{EG-F\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{v\}\}$

Это может быть компактно выражено в индексной записи как

$\partial \; an\; =\; K\; abrb\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; K\_\; \{a\}\; ^\; \{\; ~\; b\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{b\}\}$,

где K ab - компоненты тензора кривизны поверхности.

• Вайсштейн, Эрик У. «Уравнения Вайнгартена». MathWorld.
• Математическая энциклопедия Springer, Деривационные формулы Вайнгартена
• Струик, Дирк Дж. (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии, Dover Publications, с. 108, ISBN 0-486-65609-8
• Эрвин Крейсциг, Дифференциальная геометрия, Dover Publications, 1991, ISBN 0 -486-66721-9, раздел 45.