Модель Вичека

редактировать

Модель Вичека - это математическая модель, используемая для описания активное вещество. Одним из мотивов изучения активного вещества физиками является богатая феноменология, связанная с этой областью. Коллективное движение и роение являются одними из наиболее изученных явлений. Среди огромного количества моделей, разработанных для выявления такого поведения на основе микроскопического описания, наиболее известной является модель, представленная Тамашем Вичеком и др. в 1995 г.

Физики проявляют большой интерес к этой модели, поскольку она минимальна и описывает своего рода универсальность. Он состоит из точечного sel f-движущиеся частицы, которые развиваются с постоянной скоростью и выравнивают свою скорость со скоростью своих соседей в присутствии шума. Такая модель показывает коллективное движение при высокой плотности частиц или низком уровне шума юстировки.

Содержание

1 Модель (математическое описание)
2 Феноменология
3 Расширения
4 Ссылки

Модель (математическое описание)

Поскольку эта модель стремится быть минимальной, это предполагает, что флокирование происходит из-за комбинации любого вида самодвижения и эффективного выравнивания.

Человек $i {\ displaystyle i}$ $i$ описывается своим положением $ri (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} (t) }$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} (t)}$ и угол, определяющий направление его скорости $Θ i (t) {\ displaystyle \ Theta _ {i} (t)}$ ${\ displaystyle \ Theta _ {i} (t)}$ в момент $t { \ Displaystyle t}$ $t$ . Эволюция одной частицы в дискретном времени задается двумя уравнениями: на каждом временном шаге $Δ t {\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ каждый агент выравнивается со своими соседями на расстоянии $r { \ displaystyle r}$ $r$ с неопределенностью из-за шума $η i (t) {\ displaystyle \ eta _ {i} (t)}$ ${\ displaystyle \ eta _ {i} (t)}$ , например,

$Θ i (t + Δ t) = ⟨Θ j⟩ | r i - r j | < r + η i ( t) {\displaystyle \Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|$ ${\ displaystyle \ Theta _ {i} (t + \ Delta t) = \ langle \ Theta _ {j} \ rangle _ {| r_ {i} -r_ {j} | <r} + \ eta _ {i} (t)}$

и движется с постоянной скоростью $v {\ displaystyle v}$ $v$ в новом направлении:

$ri (t + Δ t) = ri (t) + v Δ t (cos ⁡ Θ я (t) грех ⁡ Θ я (t)) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} (t + \ Delta t) = \ mathbf {r} _ {i} (t) + v \ Delta t { \ begin {pmatrix} \ cos \ Theta _ {i} (t) \\\ sin \ Theta _ {i} (t) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} (t + \ Delta t) = \ mathbf {r} _ {i} (t) + v \ Delta t {\ begin {pmatrix} \ cos \ Theta _ {i} (t) \\\ sin \ Theta _ {i} (t) \ end {pmatrix}}}$

Вся модель контролируется тремя параметрами: плотностью частиц, амплитуда шума при выравнивании и отношение расстояния перемещения $v Δ t {\ displaystyle v \ Delta t}$ ${\ displaystyle v \ Delta t}$ к диапазону взаимодействия $r {\ displaystyle r }$ $r$ . На основе этих двух простых итерационных правил были разработаны различные непрерывные теории, такие как теория Тонера Ту, которая описывает систему на гидродинамическом уровне. Была разработана кинетическая теория, подобная Энскогу, которая справедлива при произвольной плотности частиц. Эта теория количественно описывает образование крутых волн плотности, также называемых волнами вторжения, вблизи перехода к коллективному движению.

Феноменология

Эта модель показывает фазовый переход от неупорядоченного движения к крупномасштабному заказанное движение. При большом шуме или низкой плотности частицы в среднем не выровнены, и их можно описать как неупорядоченный газ. При низком уровне шума и большой плотности частицы глобально выровнены и движутся в одном направлении (коллективное движение ). Это состояние интерпретируется как упорядоченная жидкость. Переход между этими двумя фазами не является непрерывным, на самом деле фазовая диаграмма системы демонстрирует фазовый переход первого рода с микрофазным разделением. В области сосуществования в газовой среде возникают жидкие полосы конечных размеров, которые движутся в поперечном направлении. Эта спонтанная организация частиц олицетворяет коллективное движение.

Расширения

С момента своего появления в 1995 году эта модель была очень популярна в физическом сообществе; многие ученые работали над этим и расширяли его. Например, можно выделить несколько классов универсальности из простых аргументов симметрии, касающихся движения частиц и их выравнивания.

Более того, в реальных системах можно включить многие параметры, чтобы дать более реалистичное описание, так как пример притяжения и отталкивания между агентами (частицы конечного размера), хемотаксис (биологические системы), память, неидентичные частицы, окружающая жидкость.

Более простая теория, модель Активного Изинга, была разработана для облегчения анализа модели Вичека.

Список литературы