В статистическая проверка гипотез, равномерно наиболее мощный (UMP ) тест - это проверка гипотез с наибольшей мощностью среди всех возможных тестов данного размера α. Например, согласно лемме Неймана – Пирсона, критерий отношения правдоподобия - это UMP для проверки простых (точечных) гипотез.
Содержание
- 1 Настройка
- 2 Формальное определение
- 3 Теорема Карлина – Рубина
- 4 Важный случай: экспоненциальное семейство
- 5 Пример
- 6 Дальнейшее обсуждение
- 7 Ссылки
- 8 Дополнительная литература
Настройка
Пусть обозначает случайный вектор (соответствующий измерениям), взятый из параметризованного семейства из функций плотности вероятности или функций плотности вероятности , который зависит от неизвестного детерминированного параметра . Пространство параметров разделено на два непересекающихся набора и . Пусть обозначает гипотезу о том, что , и пусть обозначает гипотезу о том, что . Бинарная проверка гипотез выполняется с помощью тестовой функции .
означает, что действует, если измерение и что действует, если измерение . Обратите внимание, что является непересекающимся покрытием пространства измерения.
Формальное определение
Тестовая функция - это UMP размера , если для любой другой тестовой функции удовлетворяет
имеем
Теорема Карлина – Рубина
Теорема Карлина – Рубина может рассматриваться как расширение теории Неймана –Лемма Пирсона для сложных гипотез. Рассмотрим скалярное измерение, имеющее функцию плотности вероятности, параметризованную скалярным параметром θ, и определим отношение правдоподобия . Если является монотонным неубывающим, в для любой пары (означает, что большее есть, более вероятно is), то пороговая проверка:
- где выбирается таким образом, чтобы
- тест UMP размера α для тестирования
Обратите внимание, что точно такой же тест также является UMP для тестирования
Важный случай: экспоненциальный семейство
Хотя теорема Карлина-Рубина может показаться слабой из-за ее ограничения скалярным параметром и скалярным измерением, оказывается, что существует множество проблем, для которых теорема верна. В частности, одномерное экспоненциальное семейство из функций плотности вероятности или функций массы вероятности с
имеет монотонное неубывающее отношение правдоподобия в достаточной статистике при условии, что не убывает.
Пример
Пусть обозначают iid нормально распределенные -мерные случайные векторы со средним значением и ковариационной матрицей . Тогда имеем
, которое в точности соответствует форме экспоненциального семейства, показанного в предыдущем разделе, с достаточной статистикой
Таким образом, мы заключаем, что тест
- тест UMP размера для тестирования vs.
Дальнейшее обсуждение
Наконец, отметим, что в целом UMP не существует тестов для векторных параметров или двусторонних тестов (тест, в котором одна гипотеза лежит по обе стороны от альтернативы). Причина в том, что в этих ситуациях наиболее эффективный тест заданного размера для одного возможного значения параметр (например, для , где ) отличается от самого мощного теста того же размера для другого значения параметра (например, для где ). В результате ни один тест не является равномерно наиболее эффективным в этих ситуациях.
Ссылки
Дополнительная литература
- Ferguson, T. S. (1967). «Раздел 5.2: Наиболее мощные тесты». Математическая статистика: теоретико-решающий подход. Нью-Йорк: Academic Press.
- Mood, A.M.; Graybill, F.A.; Бос, Д. К. (1974). «Раздел IX.3.2: Самые мощные тесты». Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
- Л. Л. Шарф, Статистическая обработка сигналов, Аддисон-Уэсли, 1991, раздел 4.7.