Проекция стереографической карты

Стереографическая проекция мира к северу от 30 ° ю. Сетка 15 °. Стереографическая проекция с индикатрисой деформации Тиссо.

Стереографическая проекция, известная также как проекция Planisphere или азимутальная проекция конформной, является конформным отображением проекции, использование которого восходит к глубокой древности. Подобно ортогональной проекции и гномонической проекции, стереографическая проекция является азимутальной проекцией, а на сфере - также перспективной проекцией.

На эллипсоиде определение перспективы стереографической проекции не является конформным, и необходимо внести изменения, чтобы сохранить его азимутальные и конформные свойства. Универсальная полярная стереографическая система координат использует одну такую эллипсоидной реализацию.

• 1 История
• 2 формулы
• 3 свойства
• 4 Производные прогнозы
• 5 ссылки

Карта мира, составленная Румольдом Меркатором в 1587 году с использованием двух экваториальных аспектов стереографической проекции.

Стереографическая проекция, вероятно, была известна в своем полярном аспекте древним египтянам, хотя ее изобретение часто приписывают Гиппарху, который был первым греком, который ее использовал. Его наклонный аспект использовал греческий математик Теон Александрийский в четвертом веке, а его экваториальный аспект использовал арабский астроном Аль-Заркали в одиннадцатом веке. Самое раннее письменное описание этого - Planisphaerium Птолемея, который называет его «проекцией планисферы».

Стереографическая проекция использовалась исключительно для звездных карт до 1507 года, когда Вальтер Ладд из Сен-Дье, Лотарингия, создал первый известный пример стереографической проекции поверхности Земли. Его популярность в картографии возросла после того, как Румольд Меркатор использовал его экваториальный аспект в своем атласе 1595 года. Впоследствии он часто использовался в течение семнадцатого века, а его экваториальный аспект использовался для карт Восточного и Западного полушарий.

В 1695 году Эдмонд Галлей, движимый интересом к звездным картам, опубликовал первое математическое доказательство конформности этой карты. Он использовал недавно созданные инструменты исчисления, изобретенные его другом Исааком Ньютоном.

Сферическую форму стереографической проекции обычно выражают в полярных координатах:

${\ displaystyle {\ begin {align} r amp; = 2R \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \\\ theta amp; = \ лямбда \ конец {выровнено}}}$

где - радиус сферы, и - широта и долгота соответственно. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ lambda}$

Сфера обычно выбираются для моделирования Земли, когда степень отображенной области превышает несколько сот километров в длине в обоих направлениях. Для карт меньших регионов следует выбирать эллипсоидальную модель, если требуется большая точность.

Эллипсоидальная форма полярной эллипсоидальной проекции использует конформную широту. Существуют различные формы поперечных или наклонных стереографических проекций эллипсоидов. В одном методе используется двойная проекция через конформную сферу, а в других - нет.

Примеры поперечной или наклонной стереографической проекции включают в себя стереографическую проекцию Миллера со сплющенным слоем и наклонную стереографическую проекцию Руссиль.

Как азимутальная проекция, стереографическая проекция точно представляет относительные направления всех больших кругов, проходящих через ее центральную точку. В качестве конформной проекции он повсюду точно отображает углы. Кроме того, в сферической форме стереографическая проекция является единственной картографической проекцией, которая отображает все маленькие кружки в виде кружков.

Трехмерная иллюстрация геометрического построения стереографической проекции.

Сферическая форма стереографической проекции эквивалентна перспективной проекции, в которой точка перспективы находится на точке на земном шаре напротив центральной точки карты.

Поскольку выражение для расходится по мере приближения, стереографическая проекция бесконечно велика, и показать Южный полюс невозможно. Однако можно отображать точки произвольно близко к Южному полюсу, если границы карты простираются достаточно далеко. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$

Параллели на стереографической проекции Галла распределены с тем же интервалом, что и параллели на центральном меридиане поперечной стереографической проекции.

Проекция GS50 формируется путем отображения косой стереографической проекции на комплексную плоскость, а затем преобразуя точки на ней с помощью полинома десятого порядка.

Сравнение проекции стереографической карты и некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в одном масштабе, упорядоченном по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)