Стандартная карта

Воспроизвести мультимедиа Фазовое пространство стандартной карты с изменением параметра $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$от 0 до 5,19 ($pn\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\}$по оси y, $\theta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\}$по оси x). Обратите внимание на появление «пунктирной» зоны, признак хаотического поведения. Орбиты стандартной карты для K = 0,6. Орбиты стандартной карты для K = 0,971635. Орбиты стандартное отображение для K = 1.2. Орбиты стандартного отображения для K = 2.0. Большая зеленая область - это основная хаотическая область карты. Одна орбита стандартной карты для K = 2.0. Увеличенный крупный план с центром в точке $\theta \; =\; 0,282\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; 0,282\}$, p = 0,666, с общей шириной / высотой 0,02. Обратите внимание на чрезвычайно равномерное распределение орбиты.

Стандартная карта (также известная как карта Чирикова – Тейлора или стандартная карта Чирикова ) - это сохраняющая площадь хаотическая карта из квадрата со стороной $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$на себя. Он состоит из поверхности Пуанкаре сечения ротатора и определяется следующим образом:

$pn\; +\; 1\; =\; pn\; +\; K\; sin\; \; (\theta \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; p\_\; \{n\}\; +\; K\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta\; \_\; \{n\})\}$

$\theta \; n\; +\; 1\; =\; \theta \; n\; +\; pn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; +\; p\_\; \{n\; +\; 1\}\}$

где $pn\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\}$и $\theta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\; \}\}$взяты по модулю $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$.

Свойства хаоса стандартной карты были установлены Борисом Чириковым в 1969 году.

• 1 Физическая модель
• 2 Основные свойства
• 3 Круговая карта
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Эта карта описывает поверхность Пуанкаре сечения движения простой механической системы, известной как ротатор с толчком. Ротатор с ударом состоит из стержня, на который не действует сила тяжести, который может вращаться без трения в плоскости вокруг оси, расположенной на одном из его концов, и который периодически ударяется о другой наконечник.

Стандартная карта - это поверхность сечения, применяемая с помощью a к переменным вращающегося механизма с толчком. Переменные $\theta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\}$и $pn\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\}$соответственно определяют угловое положение ручки. и его угловой момент после n-го удара. Константа K измеряет интенсивность толчков вращателя с толчком.

вращатель аппроксимирует системы, изучаемые в областях механики частиц, физики ускорителей, физики плазмы, и физика твердого тела. Например, круговые ускорители частиц ускоряют частицы, применяя периодические толчки, когда они циркулируют в лучевой трубке. Таким образом, структура балки может быть приближена к ротору с толчком. Однако эта карта интересна с фундаментальной точки зрения физики и математики, потому что это очень простая модель отображаемой консервативной системы. Поэтому полезно изучить развитие хаоса в такой системе.

Для $K\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 0\}$карта является линейной и имеет только периодические и квазипериодические орбиты возможны. При построении графика в фазовом пространстве (плоскость θ – p) периодические орбиты выглядят как замкнутые кривые, а квазипериодические орбиты - как ожерелья замкнутых кривых, центры которых лежат на другой более крупной замкнутой кривой. Наблюдаемый тип орбиты зависит от начальных условий карты.

Нелинейность карты увеличивается с увеличением K, а вместе с ней и возможность наблюдения для соответствующих начальных условий. Это проиллюстрировано на рисунке, который отображает набор различных орбит, разрешенных для стандартной карты для различных значений $K>0\; \{\backslash \; displaystyle\; K>0\}$. Все показанные орбиты являются периодическими или квазипериодическими, за исключением зеленого один, который является хаотическим и развивается в большой области фазового пространства как очевидно случайный набор точек. Особенно примечательна чрезвычайная однородность распределения в хаотической области, хотя это может быть обманчивым: даже в пределах хаотических областей существует бесконечное количество уменьшающихся малых островов, которые никогда не посещаются во время итерации, как показано на крупном плане.

Стандартная карта связана с круговой картой, который имеет одно аналогичное повторяющееся уравнение:

$\theta \; n\; +\; 1\; =\; \theta \; n\; +\; \Omega \; -\; K\; sin\; \; (\theta \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; +\; \backslash \; Omega\; -K\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta\; \_\; \{n\})\}$

по сравнению с

$\theta \; n\; +\; 1\; =\; \theta \; n\; +\; pn\; +\; K\; sin\; \; (\theta \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; тета\; \_\; \{п\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; тета\; \_\; \{п\}\; +\; р\_\; \{п\}\; +\; К\; \backslash \; грех\; (\backslash \; тета\; \_\; \{п\})\}$

$рn\; +\; 1\; =\; \theta \; n\; +\; 1\; -\; \theta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\}$

для стандартной карты, уравнения переупорядочены, чтобы подчеркнуть сходство. По сути, карта круга заставляет импульс быть постоянным.

• Теорема Усики

• Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт N 267, Институт ядерной физики, Новосибирск (1969) [англ. Пер., CERN Trans. 71 - 40, Женева, Октябрь (1971), Пер. А. Т. Сандерса]. ссылка
• Чириков Б.В. Универсальная неустойчивость многомерных осцилляторных систем. Phys. Реп. V.52. p.263 (1979) Elsvier, Amsterdam.
• Lichtenberg, A.J. И Либерман, М.А. (1992). Регулярная и хаотическая динамика. Спрингер, Берлин. ISBN 978-0-387-97745-4.Springer link
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах. Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. ISBN 0-521-01084-5.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов. Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850840-9.

• Стандартная карта в MathWorld
• Стандартная карта Чирикова в Scholarpedia
• Веб-сайт, посвященный Борису Чирикову
• Интерактивный Java-апплет, визуализирующий орбиты Стандартной карты, от Ахима Луна
• Mac-приложение для стандартной карты, от Джеймса Мейсса
• Интерактивный Java-апплет со стандартной картой на experience.math.cnrs.fr