Общительное число

Числа, аликвотные суммы которых образуют циклическую последовательность

В математике, общительный числа - числа, аликвотные суммы которых образуют циклическую последовательность, которая начинается и заканчивается одним и тем же номером. Они являются обобщением понятий дружественных чисел и совершенных чисел. Первые две социальные последовательности, или социальные цепочки, были обнаружены и названы бельгийским математиком Полем Пуле в 1918 году. В наборе общительных чисел каждое число представляет собой сумму собственных множителей предыдущего числа, т. е. сумма исключает само предыдущее число. Чтобы последовательность была общительной, она должна быть циклической и возвращаться в исходную точку.

период последовательности или порядок набора социальных чисел - это количество чисел в этом цикле.

Если период последовательности равен 1, это число является общительным числом порядка 1 или совершенным числом - например, правильными делителями числа 6 равны 1, 2 и 3, сумма которых снова равна 6. Пара дружественных чисел представляет собой набор общительных чисел порядка 2. Нет известных общительных чисел порядка 3, и поиски их имеют было сделано до $5\; \times \; 10\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{7\}\}$по состоянию на 1970 год.

Это открытый вопрос, все ли числа заканчиваются на либо общительное число, либо простое число (и, следовательно, 1), либо, что эквивалентно, существуют ли числа, у которых аликвотная последовательность никогда не заканчивается и, следовательно, неограниченно растет.

• 1 Пример
• 2 Список известных общительных чисел
• 3 Поиск общительных чисел
• 4 Гипотеза суммы циклов общительных чисел
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Пример с периодом 4:

Сумма собственных делителей $1264460\; \{\backslash \; displaystyle\; 1264460\}$($=\; 2\; 2\; \cdot \; 5\; \cdot \; 17\; \cdot \; 3719\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 5\; \backslash \; cdot\; 17\; \backslash \; cdot\; 3719\}$) равно

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,

сумма собственных делителей $1547860\; \{\backslash \; displaystyle\; 1547860\}$($=\; 2\; 2\; \cdot \; 5\; \cdot \; 193\; \cdot \; 401\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 5\; \backslash \; cdot\; 193\; \backslash \; cdot\; 401\}$) равно

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,

сумма собственных делителей $1727636\; \{\backslash \; displaystyle\; 1727636\}$($=\; 2\; 2\; \cdot \; 521\; \cdot \; 829\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 521\; \backslash \; cdot\; 829\}$) равно

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184 и

сумма собственных делителей $1305184\; \{\backslash \; displaystyle\; 1305184\}$($=\; 2\; 5\; \cdot \; 40787\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; 2\; ^\; \{5\}\; \backslash \; cdot\; 40787\}$) равно

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Все известные Количество доступных для общения на июль 2018 г. по длине соответствующей аликвотной последовательности:

Последовательность длина	Количество известных последовательностей
1 (Идеальное число )	51
2 (Дружественное число )	1225736919
4	5398
5	1
6	5
8	4
9	1
28	1

высказано предположение, что если n конгруэнтно 3 по модулю 4, то такой последовательности с длиной n не существует.

Наименьшее число из единственного известного 28-цикла - 14316.

Аликвотная последовательность может быть представлена ​​как ориентированный граф, $G\; n,\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n,\; s\}\}$, для данного целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, где $s\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (k)\}$обозначает сумму собственных делителей $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$.Cycles in $G\; n,\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n,\; s\}\}$представляют собой общительные числа в интервале $[1,\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; [1,\; n]\}$. Двумя частными случаями являются циклы, которые представляют совершенные числа, и циклы длины два, которые представляют дружественные пары.

Предполагается, что как количество общительных числовых циклов длиной больше 2 приближается к бесконечности, процент сумм общительных числовых циклов, делимых на 10, приближается к 100%. (последовательность A292217 в OEIS ).

• H. Коэн, О дружеских и общительных числах, Math. Комп. 24 (1970), pp. 423–429

• Список известных общительных чисел
• Обширные таблицы идеальных, дружеских и общительных чисел
• Weisstein, Eric W. «Общительные числа». MathWorld.
• A003416 (наименьшее число для общения из каждого цикла) и A122726 (все числа для общения) в OEIS