Отношение сигнал / шум квантования

Отношение сигнал / шум квантования (SQNR или SNqR) - широко используемый показатель качества при анализе схем оцифровки, таких как PCM (импульсная кодовая модуляция ) и мультимедийные кодеки. SQNR отражает соотношение между максимальной номинальной мощностью сигнала и ошибкой квантования (также известной как шум квантования), представленной в аналого-цифровом преобразовании.

Формула SQNR получена из общей формулы SNR (отношение сигнал / шум ) для двоичного импульсного кода модулированного канала связи :

$SNR\; =\; 3\; \times \; 2\; 2\; n\; 1\; +\; 4\; P\; e\; \times \; (2\; 2\; n\; -\; 1)\; мм\; (t)\; 2\; mp\; (t)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{2n\}\}\; \{1\; +\; 4P\_\; \{e\}\; \backslash \; times\; (2\; ^\; \{2n\}\; -1)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{m\}\; (t)\; ^\; \{2\}\}\; \{m\_\; \{p\}\; (t)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где

$P\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{e\}\}$- вероятность полученной битовой ошибки

$mp\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{p\}\; (t)\}$- пиковый уровень сигнала сообщения

$мм\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{m\}\; (t)\}$- средний уровень сигнала сообщения

Поскольку SQNR применяется к квантованным сигналам, формулы для SQNR относятся к цифровым сигналам с дискретным временем. Вместо $m\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (t)\}$оцифрованный сигнал $x\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (n)\}$будет используемый. Для $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$шагов квантования для каждой выборки $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$требуется $\nu \; =\; log\; 2\; \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; N\}$бит. функция распределения вероятностей (pdf), представляющая распределение значений в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, и может быть обозначена как $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$. Максимальное значение амплитуды любого $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$обозначается $xmax\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{max\}\}$.

Поскольку SQNR, как и SNR, представляет собой отношение сигнала степень некоторой мощности шума, ее можно рассчитать как:

$SQNR\; =\; P\; signal\; P\; noise\; =\; E\; [x\; 2]\; E\; [x\; ~\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SQNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{signal\}\; \}\; \{P\_\; \{noise\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\; [x\; ^\; \{2\}]\}\; \{E\; [\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}]\}\}\}$

Мощность сигнала:

$Икс\; 2\; ¯\; знак\; равно\; Е\; [Икс\; 2]\; =\; П\; Икс\; \nu \; =\; \int \; Икс\; 2\; f\; (Икс)\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; E\; [x\; ^\; \{2\}]\; =\; P\_\; \{x\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\; x\; ^\; \{2\}\; f\; (x)\; dx\}$

Мощность шума квантования может быть выражена как:

$E\; [x\; ~\; 2]\; =\; xmax\; 2\; 3\; \times \; 4\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{max\}\; ^\; \{2\}\}\; \{3\; \backslash \; times\; 4\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\}\}$

Раздача:

$SQNR\; =\; 3\; \times \; 4\; \nu \; \times \; x\; 2\; ¯\; xmax\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SQNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; times\; 4\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; overline\; \{x\; ^\; \{2\; \}\}\}\}\; \{x\_\; \{max\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Когда SQNR желательно в единицах децибел (дБ), полезное приближение к SQNR:

$SQNR\; |\; d\; В\; знак\; равно\; п\; Икс\; \nu \; +\; 6,02\; \nu \; +\; 4,77\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SQNR\}\; |\; \_\; \{дБ\}\; =\; P\_\; \{x\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\; +\; 6,02\; \backslash \; nu\; +4,77\}$

где $\nu \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- количество битов в квантованной выборке, а $P\; x\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{x\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\}$- сигнал мощность рассчитана выше. Обратите внимание, что для каждого бита, добавленного к выборке, SQNR увеличивается примерно на 6 дБ ($20\; \times \; l\; o\; g\; 10\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 20\; \backslash \; times\; log\_\; \{10\}\; (2)\}$).

• BPLathi, Современные цифровые и аналоговые системы связи (3-е издание), Oxford University Press, 1998

• Сигнал к шуму квантования в квантованной синусоиде - Анализ ошибка квантования на синусоиде