Сигма-мартингейл

редактировать

В математической теории вероятности сигма-мартингал - это семимартингал с интегральным представлением. Сигма-мартингалы были введены Ч. С. Чоу и М. Эмери в 1977 и 1978 годах. В финансовой математике сигма-мартингалы фигурируют в фундаментальной теореме ценообразования активов как условие, эквивалентное без бесплатного обеда с исчезающим риском (условие отсутствия- арбитража ).

Математическое определение

An $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ -значный случайный процесс $X = (X t) t = 0 T {\ displaystyle X = (X_ {t}) _ { t = 0} ^ {T}}$ ${\ displaystyle X = (X_ {t}) _ { t = 0} ^ {T}}$ является сигма-мартингалом, если это семимартингейл и существует $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ -значный мартингал M и M- интегрируемый предсказуемый процесс $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ со значениями в $R + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$ $\ mathbb {R} _ {+}$ такими, что

X = ϕ ⋅ M. {\ displaystyle X = \ phi \ cdot M.}

{\ displaystyle X = \ phi \ cdot M.}

Ссылки