Коллектор Нехари

В вариационном исчислении, ветке математики, многообразие Нехари - это множество функций, определение которых мотивировано работой Зеев Нехари (1960, 1961). Это дифференциальное многообразие, связанное с задачей Дирихле для полулинейного эллиптического уравнения в частных производных

$-\; △\; u\; =\; |\; u\; |\; п\; -\; 1\; U,\; где\; U\; \mid \; \partial \; \Omega \; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \backslash \; треугольник\; u\; =\; |\; u\; |\; ^\; \{p-1\}\; u,\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; u\; \backslash \; mid\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; =\; 0.\}$

Здесь Δ - лапласиан в ограниченной области Ω в R.

. Есть бесконечно много решений этой проблемы. Решения - это в точности критические точки для функционала энергии

$J\; (v)\; =\; 1\; 2\; \int \; \Omega \; |\; \nabla \; v\; |\; 2\; d\; \mu \; -\; 1\; p\; +\; 1\; \int \; \Omega \; |\; v\; |\; п\; +\; 1\; d\; \mu \; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; (v)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{|\; \backslash \; nabla\; v\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\; +\; 1\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{|\; v\; |\; ^\; \{p\; +\; 1\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}\}$

в пространстве Соболева H. 0(Ω). Многообразие Нехари определяется как множество v ∈ H. 0(Ω) таких, что

$\Vert \; \nabla \; v\; \Vert \; L\; 2\; (\Omega )\; 2\; =\; \Vert \; v\; \Vert \; L\; p\; +\; 1\; (\Omega )\; p\; +\; 1>0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; набла\; v\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; Omega)\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{p\; +\; 1\}\; (\backslash \; Omega)\}\; ^\; \{p\; +\; 1\}>0.\}$

Решения исходной вариационной задачи, лежащие в многообразии Нехари, являются (ограниченными) минимизаторами энергии, и поэтому прямые методы вариационного исчисления могут применяться.

В более общем смысле, учитывая подходящий функционал J, ассоциированное многообразие Нехари определяется как набор функций u в соответствующем функциональном пространстве, для которого

$⟨J\; \text{'}(u),\; u⟩\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; J\; \text{'}(u),\; u\; \backslash \; rangle\; =\; 0.\}$

Здесь J' - функциональная производная от J.

• A. Bahri и PL Lions (1988), Индекс Морса некоторых критических точек минимума и максимума. I. Приложения к результатам множественности. Сообщения по чистой и прикладной математике. (XLI) 1027–1037.
• Nehari, Zeev (1960), «On класс нелинейных s Дифференциальные уравнения второго порядка », Труды Американского математического общества, 95: 101–123, doi : 10.2307 / 1993333, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993333, MR 0111898
• Нехари, Зеев (1961), «Характеристические значения, связанные с классом нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. ", Acta Mathematica, 105 (3–4): 141–175, doi : 10.1007 / BF02559588, ISSN 0001-5962, MR 0123775
• Виллем, Мишель (1996), Теоремы о минимаксе, Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 24, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3913-6, MR 1400007

.