Нарциссическое число

редактировать

Целое число, выражаемое как сумма (количество цифр) -й степени каждой из его цифр

In теория чисел, нарциссическое число (также известное как плюсовершенный цифровой инвариант (PPDI ), число Армстронга (после Майкла Ф. Армстронга) или плюс совершенное число ) в данной базе числа $b {\ displaystyle b}$ $b$ - это число, которое сумма собственных цифр, каждая из которых возведена в степень числа цифр.

Содержание

1 Определение
2 Нарциссические числа и циклы F b для конкретных b
3 Расширение до отрицательных целых чисел
4 Пример программирования
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Определение

Пусть $n {\ displaystyle n}$ $n$ будет натуральным числом. Мы определяем нарциссическую функцию для базы $b>1 {\ displaystyle b>1}$ $b>1$ $F b: N → N {\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ ${ \ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ должно быть следующим:

F b (n) = ∑ i = 0 k - 1 dik. {\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} ^ {k}.}

{\ displaystyle F_ {b} ( п) = \ сумма _ {я = 0} ^ {k-1} d_ {i} ^ {k}.}

где $k = ⌊ log b ⁡ n ⌋ + 1 {\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} { n} \ rfloor +1}$ ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ - количество цифр в числе в базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ , а

di = n mod bi + 1 - n mod bibi {\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i} }}}

{\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

- значение каждой цифры числа. Натуральное число $n {\ displaystyle n}$ $n$ - это нарциссическое число, если оно фиксированная точка для $F b {\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ , которая возникает, если $F b (n) = n {\ displaystyle F_ {b} (n) = n}$ ${\ displaystyle F_ {b } (n) = n}$ . Натуральные числа $0 ≤ n < b {\displaystyle 0\leq n$ ${\ displaystyle 0 \ leq n <b}$ являются тривиальными нарциссическими числами для всех $b {\ displaystyle b}$ $b$ , все остальные нарциссические числа нетривиальные нарциссические числа .

Например, число 122 в основании $b = 3 {\ displaystyle b = 3}$ ${\ displaystyle b = 3}$ является нарциссическим числом, потому что $k = 3 {\ displaystyle k = 3}$ $k = 3$ и $122 = 1 3 + 2 3 + 2 3 {\ displaystyle 122 = 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 2 ^ {3}}$ ${\ displaystyle 122 = 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 2 ^ {3}}$ .

A натуральное число $n {\ displaystyle n}$ $n$ - это общительное нарциссическое число, если оно является периодической точкой для $F b {\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ , где $F bp (n) = n {\ displaystyle F_ {b} ^ {p} (n) = n}$ ${\ displaystyle F_ {b} ^ {p} (n) = n}$ для положительного целое число $p {\ displaystyle p}$ $p$ (здесь $F bp {\ displaystyle F_ {b} ^ {p}}$ ${\ displaystyle F_ {b} ^ {p}}$ - это $p {\ displaystyle p}$ $p$ th итерация из $F b {\ displaystyle F_ {b}}$ $F_ {b}$ ) и формирует цикл периода $p {\ displaystyle p}$ $p$ . Нарциссическое число - это общительное нарциссическое число с $p = 1 {\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ , а дружеское нарциссическое число - это общительное нарциссическое число с $p = 2 {\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ .

Все натуральные числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ являются препериодическими точками для $F b {\ displaystyle F_ { b}}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ , независимо от основания. Это связано с тем, что для любого заданного количества цифр $k {\ displaystyle k}$ $k$ минимально возможное значение $n {\ displaystyle n}$ $n$ равно $bk - 1 {\ displaystyle b ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle b ^ {k-1}}$ , максимально возможное значение $n {\ displaystyle n}$ $n$ равно $bk - 1 ≤ bk {\ displaystyle b ^ {k} -1 \ leq b ^ {k}}$ ${\ displaystyle b ^ {k} -1 \ leq b ^ {k}}$ , а значение нарциссической функции равно $F b (n) = k (b - 1) k {\ displaystyle F_ { b} (n) = k (b-1) ^ {k}}$ ${\ displaystyle F_ {b} (n) = k (b-1) ^ {k}}$ . Таким образом, любое нарциссическое число должно удовлетворять неравенству $bk - 1 ≤ k (b - 1) k ≤ bk {\ displaystyle b ^ {k-1} \ leq k (b-1) ^ {k} \ leq b ^ {k}}$ ${\ displaystyle b ^ {k-1} \ leq k (b-1) ^ {k} \ leq b ^ { k}}$ . Умножая все стороны на $b (b - 1) k {\ displaystyle {\ frac {b} {(b-1) ^ {k}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac { b} {(b-1) ^ {k}}}}$ , получаем $(bb - 1) k ≤ bk ≤ b (bb - 1) k {\ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk \ leq b {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k}}$ ${\ displaystyle { \ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk \ leq b {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k}}$ , или, что эквивалентно, $k ≤ (bb - 1) k ≤ bk {\ displaystyle k \ leq {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk}$ ${\ displaystyle k \ leq {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right) } ^ {k} \ leq bk}$ . Поскольку $bb - 1 ≥ 1 {\ displaystyle {\ frac {b} {b-1}} \ geq 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {b-1}} \ geq 1}$ , это означает, что будет максимальное значение $k {\ displaystyle k}$ $k$ где $(bb - 1) k ≤ bk {\ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk}$ ${ \ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk}$ , из-за экспоненциальной природы $(bb - 1) k {\ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ справа)} ^ {k}}$ ${\ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k}}$ и линейность для $bk {\ displaystyle bk}$ ${\ displaystyle bk}$ . За пределами этого значения $k {\ displaystyle k}$ $k$ , $F b (n) ≤ n {\ displaystyle F_ {b} (n) \ leq n}$ ${\ displaystyle F_ {b} (n) \ leq n}$ всегда. Таким образом, существует конечное число нарциссических чисел, и любое натуральное число гарантированно достигает периодической точки или фиксированной точки меньше $bk - 1 {\ displaystyle b ^ {k} -1}$ ${ \ displaystyle b ^ {k} -1}$ , что делает его предпериодической точкой. Установка $b {\ displaystyle b}$ $b$ равным 10 показывает, что наибольшее нарциссическое число по основанию 10 должно быть меньше $10 60 {\ displaystyle 10 ^ {60}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {60}}$ .

количество итераций $i {\ displaystyle i}$ $i$ , необходимых для $F bi (n) {\ displaystyle F_ {b} ^ {i} (n)}$ ${\ displaystyle F_ {b} ^ {i} (n)}$ до достижение фиксированной точки - это настойчивость нарциссической функции $n {\ displaystyle n}$ $n$ , и не определено, если она никогда не достигает фиксированной точки.

База $b {\ displaystyle b}$ $b$ имеет по крайней мере одно двузначное нарциссическое число тогда и только тогда, когда $b 2 + 1 { \ displaystyle b ^ {2} +1}$ ${\ displaystyle b ^ {2} +1}$ не является простым, и количество двузначных нарциссических чисел в базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ равно $τ (b 2 + 1) - 2 {\ displaystyle \ tau (b ^ {2} +1) -2}$ ${\ displaystyle \ tau (b ^ {2} +1) -2}$ , где $τ (n) {\ displaystyle \ tau (n)}$ $\ tau (n)$ - это количество положительных делителей $b {\ displaystyle b}$ $b$ .

, каждое основание $b ≥ 3 {\ displaystyle b \ geq 3}$ ${\ displaystyle b \ geq 3}$ , которое не является кратное девяти имеет по крайней мере одно трехзначное нарциссическое число. Базы, которые не соответствуют

2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935,... (последовательность A248970 в OEIS )

В базе 10 всего 89 нарциссических чисел, из которых наибольшее -

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

с 39 цифрами.

Нарциссические числа и циклы F b для конкретного b

Все числа представлены в базе $b {\ displaystyle b }$ $b$ . '#' - длина каждой известной конечной последовательности.

$b {\ displaystyle b}$ $b$	Нарциссические числа	#	Циклы	OEIS последовательность (и)
2	0, 1	2	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$
3	0, 1, 2, 12, 22, 122	6	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$
4	0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303	12	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$	A010344 и A010343
5	0, 1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423,...	18	1234 → 2404 → 410 3 → 2323 → 1234 3424 → 4414 → 11034 → 20034 → 20144 → 31311 → 3424 1044302 → 2110314 → 1044302 1043300 → 1131014 → 1043300	A010346
6	0, 1, 2, 3, 4, 5, 243, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035...	31	44 → 52 → 45 → 105 → 330 → 130 → 44 13345 → 33244 → 15514 → 53404 → 41024 → 13345 14523 → 32253 → 25003 → 23424 → 14523 2245352 → 3431045 → 2245352 12444435 → 22045351 → 30145020 → 13531231 → 12444435 115531430 → 230104215 → 115531430 225435342 → 235501040 → 225435342	A010348 <233,>0, 3, 4, 5, 6, 13, 34, 44, 63, 250, 251, 305, 505, 12205, 12252, 13350, 13351, 15124, 36034,...	60	A010350
8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661,...	63		A010354 и A010351
9	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 45, 55, 150, 151, 570, 571, 2446, 12036, 12336, 14462,...	59		A010353
10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834,...	89		A005188
11	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 56, 66, 105, 307, 708, 966, A06, A64, 8009, 11720, 11721, 12470,...	135		A0161948
12	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83, 14765, 938A4, 369862, A2394A,...	88		A161949
13	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, 14, 36, 67, 77, A6, C4, 490, 491, 509, B85, 3964, 22593, 5B350,...	202		A0161950
14	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, 136, 409, 74AB5, 153A632,...	103		A0161951
15	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, 78, 88, C3A, D87, 1774, E819, E829, 7995C, 829BB, A36BC,...	203		A0161952
16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1,...	294		A161953

Расширение до отрицательных целых чисел

Нарциссические числа могут быть расширены до отрицательных целых чисел с помощью представления цифр со знаком. n для представления каждого целого числа.

Пример программирования

Пример ниже реализует нарциссическую функцию, описанную в определении выше для поиска нарциссических функций и циклов в Python.

def ppdif ( x, b): y = x digit_count = 0, а y>0: digit_count = digit_count + 1 y = y // b total = 0, в то время как x>0: total = total + pow (x% b, digit_count) x = x // b возвращает общее значение def ppdif_cycle (x, b): seen = while x not in visible: seen.append (x) x = ppdif (x, b) cycle = while x not in cycle: cycle.append (x) x = ppdif (x, b) цикл возврата

См. также

Ссылки

Внешние ссылки