Число Меертенса

редактировать

В теории чисел и математической логике число Меертенса в данной системе счисления - это натуральное число, которое является собственным числом Гёделя. Он был назван в честь Ламберта Meertens по Ричард С. Птица в качестве подарка во время празднования его 25 лет на КРИ, Амстердам. ${\ displaystyle b}$ $б$

Содержание

1 Определение
2 числа Meertens и циклы для конкретных ${\ displaystyle F_ {b}}$ $F_ {b}$ ${\ displaystyle b}$ $б$
3 См. Также
4 ссылки
5 Внешние ссылки

Определение

Позвольте быть натуральным числом. Мы определяем функцию Меертенса для базы следующим образом: ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle bgt; 1}$ ${\ displaystyle bgt; 1}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} p_ {ki-1} ^ {d_ {i}}.}

{\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} p_ {ki-1} ^ {d_ {i}}.}

где - количество цифр в числе в базе, - - простое число, и ${\ Displaystyle к = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ ${\ Displaystyle к = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ ${\ displaystyle b}$ $б$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $число Пи}$ ${\ displaystyle i}$ $я$

{\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

{\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

- значение каждой цифры числа. Натуральное число является числом Меертенса, если оно является фиксированной точкой для, что происходит, если. Это соответствует кодировке Гёделя. ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ Displaystyle F_ {b} (п) = п}$ ${\ Displaystyle F_ {b} (п) = п}$

Например, число 3020 в основании - это число Меертенса, потому что ${\ displaystyle b = 4}$ ${\ displaystyle b = 4}$

{\ displaystyle 3020 = 2 ^ {3} 3 ^ {0} 5 ^ {2} 7 ^ {0}}

{\ displaystyle 3020 = 2 ^ {3} 3 ^ {0} 5 ^ {2} 7 ^ {0}}

Натуральное число является общительным числом Меертенса, если оно является периодической точкой для, где для положительного целого числа и образует цикл периода. Число Meertens - это общительное число Meertens с, а дружественное число Meertens - это общительное число Meertens с. ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ Displaystyle F_ {b} ^ {k} (п) = п}$ ${\ Displaystyle F_ {b} ^ {k} (п) = п}$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ ${\ displaystyle k = 2}$ $k = 2$

Число итераций, необходимых для достичь неподвижной точки является функция Meertens в сохранении в, и неопределенном, если он никогда не достигает фиксированную точку. ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ Displaystyle F_ {b} ^ {i} (п)}$ ${\ Displaystyle F_ {b} ^ {i} (п)}$ ${\ displaystyle n}$ $п$

Числа Meertens и циклы для конкретных

{\ displaystyle F_ {b}}

F_ {b}

{\ displaystyle b}

б

Все числа в базе. ${\ displaystyle b}$ $б$

${\ displaystyle b}$ $б$	Числа Меертенса	Циклы	Комментарии
2	10, 110, 1010		${\ Displaystyle п lt;2 ^ {96}}$ ${\ Displaystyle п lt;2 ^ {96}}$
3	101	11 → 20 → 11	${\ displaystyle n lt;3 ^ {60}}$ ${\ displaystyle n lt;3 ^ {60}}$
4	3020	2 → 10 → 2	${\ displaystyle n lt;4 ^ {48}}$ ${\ displaystyle n lt;4 ^ {48}}$
5	11, 3032000, 21302000		${\ displaystyle n lt;5 ^ {41}}$ ${\ displaystyle n lt;5 ^ {41}}$
6	130	12 → 30 → 12	${\ displaystyle n lt;6 ^ {37}}$ ${\ displaystyle n lt;6 ^ {37}}$
7	202		${\ displaystyle n lt;7 ^ {34}}$ ${\ displaystyle n lt;7 ^ {34}}$
8	330		${\ displaystyle n lt;8 ^ {32}}$ ${\ displaystyle n lt;8 ^ {32}}$
9	7810000		${\ displaystyle n lt;9 ^ {30}}$ ${\ displaystyle n lt;9 ^ {30}}$
10	81312000		${\ displaystyle n lt;10 ^ {29}}$ ${\ displaystyle n lt;10 ^ {29}}$
11	${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$		${\ displaystyle n lt;11 ^ {44}}$ ${\ displaystyle n lt;11 ^ {44}}$
12	${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$		${\ displaystyle n lt;12 ^ {40}}$ ${\ displaystyle n lt;12 ^ {40}}$
13	${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$		${\ displaystyle n lt;13 ^ {39}}$ ${\ displaystyle n lt;13 ^ {39}}$
14	13310		${\ displaystyle n lt;14 ^ {25}}$ ${\ displaystyle n lt;14 ^ {25}}$
15	${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$		${\ displaystyle n lt;15 ^ {37}}$ ${\ displaystyle n lt;15 ^ {37}}$
16	12	2 → 4 → 10 → 2	${\ displaystyle n lt;16 ^ {24}}$ ${\ displaystyle n lt;16 ^ {24}}$