Предел сравнительного теста

редактировать

В математике, тест сравнения пределов (LCT) (в отличие от связанного теста прямого сравнения ) - это метод тестирования сходимость бесконечного ряда .

Содержание

1 Утверждение
2 Доказательство
3 Пример
4 Односторонняя версия
5 Пример
6 Конверсия одностороннего сравнительный тест
7 Пример
8 См. также
9 Ссылки
10 Дополнительная литература
11 Внешние ссылки

Утверждение

Предположим, что у нас есть две серии $Σ nan {\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$ $\ Sigma_n a_n$ и $Σ nbn {\ displaystyle \ S igma _ {n} b_ {n}}$ $\ Sigma_n b_n$ с $an ≥ 0, bn>0 {\ displaystyle a_ {n} \ geq 0, b_ {n}>0}$ $a_{n}\geq 0,b_{n}>0$ для всех $n {\ displaystyle n}$ $n$ .

Тогда, если $lim n → ∞ anbn = c {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {a_n} {b_n} = c$ с $0 < c < ∞ {\displaystyle 0$ $0 <c <\ infty$ , то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.

Доказательство

Потому что $lim n → ∞ anbn = c {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {a_n} {b_n} = c$ мы знаем, что для всех $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ такое, что для всех $n ≥ n 0 {\ displaystyle n \ geq n_ {0}}$ $n \ geq n_0$ у нас есть это $| а н б н - с | < ε {\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$ $\ left | \ frac {a_n} {b_n} - c \ right | <\ varepsilon$ , или эквивалентно

- ε < a n b n − c < ε {\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }

- \ varepsilon <\ frac {a_n} {b_n} - c <\ varepsilon

c - ε < a n b n < c + ε {\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

c - \ varepsilon <\ frac {a_n} {b_n} <c + \ varepsilon

(c - ε) bn < a n < ( c + ε) b n {\displaystyle (c-\varepsilon)b_{n}

(c - \ varepsilon) b_n <a_n <(c + \ varepsilon) b_n

c>0 {\ displaystyle c>0}

c>0

мы можем выбрать

ε {\ displaystyle \ varepsilon}

\ varepsilon

должен быть достаточно маленьким, чтобы

c - ε {\ displaystyle c- \ varepsilon}

c- \ varepsilon

было положительным. Итак,

bn < 1 c − ε a n {\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}

b_n <\ frac {1} {c- \ varepsilon} a_n

и с помощью теста прямого сравнения, если

∑ nan {\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}

\ sum_n a_n

сходится, то

∑ nbn {\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}

\ sum_n b_n

Аналогично $an < ( c + ε) b n {\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon)b_{n}}$ $a_n <(c + \ varepsilon) b_n$ , поэтому, если $∑ nan {\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}$ расходится, опять же при прямом сравнении, так же как и $∑ nbn {\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$ $\ sum_n b_n$ .

То есть оба ряда сходятся или оба ряда расходятся.

Пример

Мы хотим определить, соответствует ли ряд $∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 2 n {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 } {n ^ {2} + 2n}}}$ $\ sum_ { n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2 + 2n}$ сходится. Для этого мы сравниваем с сходящимся рядом $∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2 }}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$ $\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6}$ .

As $lim n → ∞ 1 n 2 + 2 nn 2 1 = 1>0 {\ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}} {\ frac {n ^ {2}} {1}} = 1>0}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n ^ 2 + 2n } \ frac {n ^ 2} {1} = 1>0$ мы видим, что исходный ряд также сходится.

Односторонняя версия

Можно сформулировать односторонний сравнительный тест, используя limit superior. Пусть $an, bn ≥ 0 {\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$ $a_n, b_n \ geq 0$ для всех $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Тогда, если $lim sup n → ∞ anbn = c {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$ $\ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c$ с $0 ≤ c < ∞ {\displaystyle 0\leq c<\infty }$ $0 \ leq c <\ infty$ и $Σ nbn {\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$ $\ Sigma_n b_n$ сходится, обязательно $Σ nan {\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$ $\ Sigma_n a_n$ сходится.

E xample

Пусть $an = 1 - (- 1) nn 2 {\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2} }}}$ ${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$ и $bn = 1 n 2 {\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$ $b_ {n} = {\ frac {1} {n ^ {2}}}$ для всех естественных числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Теперь $lim n → ∞ anbn = lim n → ∞ (1 - (- 1) n) {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n} }} = \ lim _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n})}$ $\ lim _ {{n \ to \ infty} } {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} (1 - (- 1) ^ {n})$ не существует, поэтому мы не можем применить стандартный сравнительный тест. Однако $lim sup n → ∞ anbn = lim sup n → ∞ (1 - (- 1) n) = 2 ∈ [0, ∞) {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n}) = 2 \ in [0, \ infty)}$ $\ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} (1 - (- 1) ^ {n}) = 2 \ in [0, \ infty)$ и поскольку $∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{ \ infty}} {\ frac {1} {n ^ {2}}}$ сходится, односторонний сравнительный тест подразумевает, что $∑ n = 1 ∞ 1 - (- 1) nn 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}$ сходится.

Конверс теста одностороннего сравнения

Пусть $an, bn ≥ 0 {\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$ $a_n, b_n \ geq 0$ для всех $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Если $Σ nan {\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$ $\ Sigma _ {n} a_ {n}$ расходится и $Σ nbn {\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$ $\ Sigma _ {n} b_ {n}$ сходится, тогда обязательно $lim sup n → ∞ anbn = ∞ {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ infty }$ $\ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ infty$ , то есть $lim inf n → ∞ bnan = 0 {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}} } = 0}$ $\ liminf _ {{n \ to \ infty} } {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = 0$ . Существенное содержание здесь состоит в том, что в некотором смысле числа $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ больше, чем числа $bn {\ displaystyle b_ {n}}$ $b_n$ .

Пример

Пусть $f (z) = ∑ n = 0 ∞ anzn {\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n }}$ $f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n} z ^ {n}$ быть аналитичным в единичном круге $D = {z ∈ C: | z | < 1 } {\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ $D = \ {z \ in {\ mathbb {C}}: | z | <1 \}$ и иметь изображение конечной площади. По формуле Парсеваля площадь изображения $f {\ displaystyle f}$ $f$ равна $∑ n = 1 ∞ n | а п | 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n | a_ {n} | ^ {2}}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} n | a_ {n} | ^ {2}$ . Кроме того, $∑ n = 1 ∞ 1 / n {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} 1 / n$ расходится. Следовательно, обратное сравнение теста дает $lim inf n → ∞ n | а п | 2 1 / N = lim inf n → ∞ (n | an |) 2 = 0 {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {n | a_ {n} | ^ {2}} {1 / n}} = \ liminf _ {n \ to \ infty} (n | a_ {n} |) ^ {2} = 0}$ $\ liminf _ {{n \ to \ infty}} {\ frac { п | а_ {п} | ^ {2}} {1 / n}} = \ liminf _ {{n \ to \ infty}} (n | a_ {n} |) ^ {2} = 0$ , то есть $lim inf n → ∞ n | а п | = 0 {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} n | a_ {n} | = 0}$ $\ liminf _ {{n \ to \ infty}} n | a_ {n} | = 0$ .

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Ринальдо Б. Скинаци: от исчисления к анализу. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, стр. 50
Микеле Лонго и Винченцо Валори: Сравнительный тест: не только для неотрицательных серий. Математический журнал, Vol. 79, No. 3 (июнь 2006 г.), pp. 205–210 (JSTOR )
J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (декабрь 2012 г.)), стр. 374–375 (JSTOR )

Внешние ссылки

Онлайн-заметки Пауля по сравнительному тесту