Модель рынка LIBOR

редактировать

Модель рынка LIBOR, также известная как Модель BGM (Модель Brace Gatarek Musiela ), со ссылкой на имена некоторых изобретателей) представляет собой финансовую модель процентных ставок. Он используется для ценообразования деривативов с процентной ставкой, особенно экзотических деривативов, таких как бермудские свопционы, ограничители и минимальные уровни погашения, целевые примечания к погашению, автокоп, обмены с нулевым купоном, свопы с постоянным сроком погашения и опционы спреда, среди многих других. Моделируемые величины, а не краткосрочная ставка или мгновенные форвардные курсы (как в структуре Хита-Джарроу-Мортона ), представляют собой набор форвардных курсов (также называемые форвардными LIBOR ), которые имеют то преимущество, что их можно напрямую наблюдать на рынке, и чья волатильность естественно связана с торгуемыми контрактами. Каждая форвардная ставка моделируется с помощью процесса логнормального в рамках его форвардной меры, т. Е. модели Блэка, приводящей к формуле Блэка для верхнего предела процентной ставки. Эта формула является рыночным стандартом для котировки капитальных цен с точки зрения подразумеваемой волатильности, отсюда и термин «рыночная модель». Рыночную модель LIBOR можно интерпретировать как набор форвардной динамики LIBOR для различных форвардных ставок с охватом срока и сроков погашения, причем каждая форвардная ставка соответствует формуле кэплета черной процентной ставки для ее канонического срока погашения. Можно записать разную динамику ставок под общим показателем ценообразования, например, форвардный показатель для предпочтительного единого срока погашения, и в этом случае форвардные курсы не будут логнормальными под уникальным показателем в целом, что приводит к необходимости в численных методах, таких как моделирование Монте-Карло, или приближениях, таких как предположение о замороженном дрейфе.

Содержание

1 Динамическая модель
2 Ссылки
3 Литература
4 Внешние ссылки

Динамическая модель

Модель рынка LIBOR моделирует набор $n { \ displaystyle n}$ $n$ форвардные ставки $L j {\ displaystyle L_ {j}}$ $L _ {{ j}}$ , $j = 1,…, n {\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ $j = 1, \ ldots, n$ как обычные процессы. При соответствующем $T j {\ displaystyle T_ {j}}$ $T_ {j}$ - прямая мера $QT j + 1 {\ displaystyle Q_ {T_ {j + 1}}}$ $Q _ {{T _ {{j + 1}}}}$

d L j (t) = μ j (t) L j (t) dt + σ j (t) L j (t) d WQT j + 1 (t). {\ Displaystyle dL_ {j} (t) = \ mu _ {j} (t) L_ {j} (t) dt + \ sigma _ {j} (t) L_ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {j + 1}}} (t) {\ text {.}}}

{\ displaystyle dL_ {j} (t) = \ mu _ {j} (t) L_ {j} (t) dt + \ sigma _ {j} (t) L_ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {j + 1}}} (t) {\ text {.}}}

Здесь мы можем считать, что $μ j (t) = 0, ∀ t {\ displaystyle \ mu _ {j} (t) = 0, \ forall t}$ ${\ displaystyle \ mu _ {j} (t) = 0, \ forall t}$ (центрированный процесс). Здесь $L j {\ displaystyle L_ {j}}$ $L _ {{ j}}$ - это форвардный курс за период $[T j, T j + 1] {\ displaystyle [T_ {j}, T_ {j + 1}]}$ $[T _ {{j}}, T _ {{j + 1}}]$ . Для каждого отдельного форвардного курса модель соответствует модели Блэка.

Новинка состоит в том, что, в отличие от модели Блэка, рыночная модель LIBOR описывает динамику целого семейства форвардных курсов в рамках общей меры. Теперь вопрос заключается в том, как переключаться между различными мерами $T {\ displaystyle T}$ $T$ -Forward. С помощью многомерной теоремы Гирсанова можно показать, что

d WQT j (t) = {d WQT p (t) - ∑ k = j + 1 p δ L k (t) 1 + δ L К (T) σ К (T) ρ jkdtj < p d W Q T p ( t) j = p d W Q T p ( t) + ∑ k = p + 1 j δ L k ( t) 1 + δ L k ( t) σ k ( t) ρ j k d t j>p {\ Displaystyle dW ^ {Q_ {T_ {j}}} (t) = {\ begin {cases} dW ^ {Q_ {T_ {p} }} (t) - \ sum \ limits _ {k = j + 1} ^ {p} {\ frac {\ delta L_ {k} (t)} {1+ \ delta L_ {k} (t)}} {\ sigma} _ {k} (t) {\ rho} _ {jk} dt \ qquad j p \\\ end {cases}}}

dW^{Q_{T_{j}}}(t)={\begin{cases}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)\qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad j=p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad \quad j>p \\\ end {cases}}

d (t) = {L j (t) σ j (t) d WQT p (t) - L j (t) ∑ k = j + 1 p δ L k (t) 1 + δ L k (t) σ j (t) σ К (T) ρ jkdtj < p L j ( t) σ j ( t) d W Q T p ( t) j = p L j ( t) σ j ( t) d W Q T p ( t) + L j ( t) ∑ k = p + 1 j δ L k ( t) 1 + δ L k ( t) σ j ( t) σ k ( t) ρ j k d t j>p {\ displaystyle dL_ {j} (t) = {\ begin {cases} L_ {j} (t) {\ sigma} _ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) -L_ {j} (t) \ sum \ limits _ {k = j + 1} ^ {p} {\ frac {\ delta L_ {k} (t) } {1+ \ delta L_ {k} (t)}} {\ sigma} _ {j} (t) {\ sigma} _ {k} (t) {\ rho} _ {jk} dt \ qquad j p \\\ end {case}}}

dL_{j}(t)={\begin{cases}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\quad \qquad j>p \\\ end {cases}}

Ссылки

Литература

Brace, A., Gatarek, D. et Musiela, M. (1997): «Рыночная модель динамики процентной ставки», Mathematical Finance, 7 (2), 127-154.
Милтерсен, К., Сандманн, К. и Зондерманн, Д., (1997): «Решения в закрытой форме для производных срочной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками», Journal of Finance, 52 (1), 409-430.
Вернц, Дж. (2020): «Банковское управление и контроль », Springer Nature, 85-88

Внешние ссылки