Черная модель

модель Блэка (иногда известная как модель Блэка-76 ) является вариантом модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза. Его основные приложения - это варианты ценообразования для фьючерсных контрактов, опционов на облигации, верхнего предела и минимальной процентной ставки и свопционов. Впервые она была представлена ​​в статье, написанной Фишером Блэком в 1976 году.

Модель Блэка может быть обобщена в класс моделей, известных как логнормальные прямые модели, также называемые Модель рынка LIBOR.

Содержание

• 1 Формула Блэка
• 2 Вывод и допущения
• 3 См. Также
• 4 Источники
• 5 Внешние ссылки

Формула Блэка

Формула Блэка аналогична формуле Блэка – Шоулза для оценки опционов на акции, за исключением того, что спотовая цена базового актива заменяется дисконтированной цена фьючерса F.

Предположим, что существует постоянная безрисковая процентная ставка r и фьючерсная цена F (t) конкретного базового актива логнормальна с постоянной волатильностью σ. Затем формула Блэка устанавливает цену европейского опциона колл со сроком погашения T на фьючерсный контракт с ценой исполнения K и датой поставки T '(при $T\; \prime \; \ge \; T\; \{\; \backslash \; displaystyle\; T\; \text{'}\backslash \; geq\; T\}$) равно

$c\; =\; e\; -\; r\; T\; [FN\; (d\; 1)\; -\; KN\; (d\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; [\; FN\; (d\_\; \{1\})\; -\; KN\; (d\_\; \{2\})]\}$

Соответствующая цена пут составляет

$p\; =\; e\; -\; r\; T\; [KN\; (-\; d\; 2)\; -\; FN\; (-\; d\; 1)]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\; =\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; [KN\; (-d\_\; \{2\})\; -\; FN\; (-d\_\; \{1\})]\}$

где

$d\; 1\; =\; ln\; \; (F\; /\; K)\; +\; (\sigma \; 2/2)\; T\; \sigma \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; d\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; (F\; /\; K)\; +\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; T\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\}\; \}\}$

$d\; 2\; знак\; равно\; пер\; \; (F\; /\; K)\; -\; (\sigma \; 2/2)\; T\; \sigma \; T\; =\; d\; 1\; -\; \sigma \; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; (F\; /\; K)\; -\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; T\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\}\}\; =\; d\_\; \{1\}\; -\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\},\}$

и N (.) - кумулятивная функция нормального распределения.

Обратите внимание, что T 'не появляется в формулах, даже если он может быть больше T. Это связано с тем, что фьючерсные контракты помечены как рыночные, и поэтому выплата осуществляется, когда вариант - е тренировался. Если мы рассмотрим опцион на форвардный контракт , истекающий в момент T '>T, выплата не произойдет до T'. Таким образом, коэффициент дисконтирования $e\; -\; r\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; rT\}\}$заменяется на $e\; -\; r\; T\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; rT\; \text{'}\}\}$, поскольку необходимо принимать во внимание временную стоимость денег. Разница в двух случаях очевидна из приведенного ниже вывода.

Вывод и допущения

Формула Блэка легко выводится из использования формулы Марграбе, которая, в свою очередь, является простым, но умным применением Формула Блэка – Шоулза.

Выплата по опциону колл на фьючерсный контракт составляет max (0, F (T) - K). Мы можем рассматривать этот вариант обмена (Margrabe), рассматривая первый актив как $e\; -\; r\; (T\; -\; t)\; F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; r\; (Tt)\}\; F\; (t)\}$и вторым активом должна быть безрисковая облигация с выплатой 1 доллара в момент времени T. Затем опцион колл исполняется в момент времени T, когда стоимость первого актива превышает K безрисковых облигаций. Предположения формулы Марграбе удовлетворяются этими активами.

Остается только проверить, что первый актив действительно является активом. Это можно увидеть, рассматривая портфель, сформированный в момент времени 0 путем открытия длинной позиции по форвардному контракту с датой поставки T и короткой позиции F (0) безрисковых облигаций (обратите внимание, что при детерминированной процентной ставке форвардная и фьючерсная цены равны, поэтому двусмысленность здесь). Затем в любое время t вы можете погасить свое обязательство по форвардному контракту, продав в короткую продажу другого форвардного контракта с той же датой поставки, чтобы получить разницу в форвардных ценах, но с дисконтом до текущей стоимости: $e\; -\; r\; (T\; -\; t)\; [F\; (t)\; -\; F\; (0)]\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; r\; (Tt)\}\; [F\; (t)\; -F\; (0)]\}$. Ликвидация безрисковых облигаций F (0), каждая из которых стоит $e\; -\; r\; (T\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; r\; (Tt)\}\}$, приводит к чистой выплате of $e\; -\; r\; (T\; -\; t)\; F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; r\; (Tt)\}\; F\; (t)\}$.

См. также

• Финансовая математика
• Блэка – Шоулза
• Описание приложений
  • Опцион на облигации # Оценка
  • Фьючерсный контракт # Варианты фьючерсов
  • Верхний и нижний предел процентной ставки # Черная модель
  • Свопцион # Оценка

Литература

• Black, Fischer (1976). Ценообразование товарных контрактов, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
• Гарман, Марк Б. и Стивен В. Кольхаген (1983). Стоимость опционов в иностранной валюте, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Милтерсен, К., Сандманн, К. и Зондерманн, Д. (1997): "Решения в закрытой форме для срочной структуры. Производные с логарифмическими нормальными процентными ставками », Journal of Finance, 52 (1), 409-430.

Внешние ссылки

Обсуждение

• Опционы на облигации, ограничения и модель Блэка Dr. Милика Кудина, Техасский университет в Остине

Онлайн-инструменты

• Калькулятор Caplet и Floorlet Dr. Шинг Хинг Мэн, Управление рисками Thomson-Reuters