Четвертая, пятая и шестая производные позиции

Производные от позиции по времени

В физике, в четвертый, пятый и шестой позиции производные определены как производные этого вектора положения по отношению к времени - с первым, вторым и третьи производные быть скорость, ускорение и рывок, соответственно. Однако эти производные высшего порядка появляются редко и имеют мало практического применения, поэтому их названия нестандартны.

Четвертую производную часто называют щелчком или скачком. Название «щелчок» для четвертой производной привело к треску и попу для пятой и шестой производных соответственно, вдохновленных рекламными талисманами Snap, Crackle и Pop. Иногда они используются, хотя и «иногда несколько шутливо».

• 1 Четвертая производная (щелчок / толчок)
• 2 Пятая производная (треск / волан)
• 3 Шестая производная (поп / наскок)
• 4 ссылки
• 5 Внешние ссылки

Привязать или ударяться, является четвёртой производной от вектора положения по отношению к времени, или скорость изменения в толчке по времени. Эквивалентно, это вторая производная от ускорения или третья производная от скорости, и определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\ displaystyle {\ vec {s}} = {\ frac {d \, {\ vec {\ jmath}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {a}}} { dt ^ {2}}} = {\ frac {d ^ {3} {\ vec {v}}} {dt ^ {3}}} = {\ frac {d ^ {4} {\ vec {r}} } {dt ^ {4}}}.}$

Следующие уравнения используются для постоянной привязки:

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} = {\ vec {\ jmath}} _ {0} + {\ vec {s}} t,}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {0} + {\ vec {\ jmath}} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec { s}} t ^ {2},}$

${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v}} _ {0} + {\ vec {a}} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {s}} t ^ {3},}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {a }} _ {0} t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} t ^ {3} + {\ tfrac {1} {24}} {\ vec {s}} t ^ {4},}$

куда

${\ displaystyle {\ vec {s}}}$ постоянный щелчок,

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {0}}$ это начальный рывок,

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$ последний рывок,

${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {0}}$ начальное ускорение,

${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ это финальное ускорение,

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}}$ начальная скорость,

${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ конечная скорость,

${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}$ начальная позиция,

${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ конечная позиция,

${\ displaystyle t}$ время между начальным и конечным состояниями.

Обозначение (используемое Виссером) не следует путать с вектором смещения, обычно обозначаемым аналогичным образом. ${\ displaystyle {\ vec {s}}}$

Размеры привязки - это расстояние в четвертой степени времени. В единицах СИ это «метры в секунду до четвертых», м / с ⁴, м⋅с ⁻⁴ или 100 галлонов в секунду в квадрате в единицах СГС.

Хруст является пятой производной от вектора положения по отношению к времени, причем первым, вторые, третьи и четвертые производные будучи скоростью, ускорение, рывок и оснастку, соответственно; треск, таким образом, представляет собой скорость изменения щелчка во времени. Треск определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\ displaystyle {\ vec {c}} = {\ frac {d {\ vec {s}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {\ jmath}}} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d ^ {3} {\ vec {a}}} {dt ^ {3}}} = {\ frac {d ^ {4} {\ vec {v}}} { dt ^ {4}}} = {\ frac {d ^ {5} {\ vec {r}}} {dt ^ {5}}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного треска:

${\ displaystyle {\ vec {s}} = {\ vec {s}} _ {0} + {\ vec {c}} \, t}$

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} = {\ vec {\ jmath}} _ {0} + {\ vec {s}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} { \ vec {c}} \, t ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {0} + {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {c}} \, t ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v}} _ {0} + {\ vec {a}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {3} + {\ tfrac { 1} {24}} {\ vec {c}} \, t ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {a}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t ^ {3} + {\ tfrac { 1} {24}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {4} + {\ tfrac {1} {120}} {\ vec {c}} \, t ^ {5}}$

куда

${\ displaystyle {\ vec {c}}}$ : постоянный треск,

${\ displaystyle {\ vec {s}} _ {0}}$ : начальная привязка,

${\ displaystyle {\ vec {s}}}$ : final snap,

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {0}}$ : начальный рывок,

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$ : финальный рывок,

${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {0}}$ : начальное ускорение,

${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ : конечное ускорение,

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}}$ : Начальная скорость,

${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ : конечная скорость,

${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}$ : исходное положение,

${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ : конечная позиция,

${\ displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры треска LT ⁻⁵. В единицах СИ это м / с ⁵, а в единицах СГС - 100 галлонов в кубе секунды.

Поп (иногда Pounce) является шестым производным от вектора положения по отношению к времени, причем первый, второй, третий, четвертый, пятый и производные будучи скорость, ускорение, рывок, оснастке, и потрескивание, соответственно; pop, таким образом, представляет собой скорость изменения треска во времени. Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ frac {d {\ vec {c}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {s}}} {dt ^ { 2}}} = {\ frac {d ^ {3} {\ vec {\ jmath}}} {dt ^ {3}}} = {\ frac {d ^ {4} {\ vec {a}}} { dt ^ {4}}} = {\ frac {d ^ {5} {\ vec {v}}} {dt ^ {5}}} = {\ frac {d ^ {6} {\ vec {r}} } {dt ^ {6}}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного давления:

${\ displaystyle {\ vec {c}} = {\ vec {c}} _ {0} + {\ vec {p}} \, t}$

${\ displaystyle {\ vec {s}} = {\ vec {s}} _ {0} + {\ vec {c}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {p}} \, t ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} = {\ vec {\ jmath}} _ {0} + {\ vec {s}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} { \ vec {c}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {p}} \, t ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {0} + {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {c}} _ {0} \, t ^ {3} + {\ tfrac { 1} {24}} {\ vec {p}} \, t ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v}} _ {0} + {\ vec {a}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {3} + {\ tfrac { 1} {24}} {\ vec {c}} _ {0} \, t ^ {4} + {\ tfrac {1} {120}} {\ vec {p}} \, t ^ {5}}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} \, t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {a}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t ^ {3} + {\ tfrac { 1} {24}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {4} + {\ tfrac {1} {120}} {\ vec {c}} _ {0} \, t ^ {5} + {\ tfrac {1} {720}} {\ vec {p}} \, t ^ {6}}$

куда

${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ : постоянный треск,

${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {0}}$ : начальное потрескивание,

${\ displaystyle {\ vec {c}}}$ : финальный треск,

${\ displaystyle {\ vec {s}} _ {0}}$ : начальная привязка,

${\ displaystyle {\ vec {s}}}$ : final snap,

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {0}}$ : начальный рывок,

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$ : финальный рывок,

${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {0}}$ : начальное ускорение,

${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ : конечное ускорение,

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}}$ : Начальная скорость,

${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ : конечная скорость,

${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}$ : исходное положение,

${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ : конечная позиция,

${\ displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры поп - LT ⁻⁶. В единицах СИ это м / с ⁶, а в единицах СГС - 100 галлонов за кварту секунду.

1. ^ ^{a b} Gragert, Стефани; Гиббс, Филип (ноябрь 1998 г.). «Какой термин используется для обозначения третьей производной позиции?». Часто задаваемые вопросы по Usenet по физике и теории относительности. Математический факультет Калифорнийского университета, Риверсайд. Проверено 24 октября 2015.
2. ^ ^Бсдее Томпсон, Питер М. (5 мая 2011 г.). «Щелчок, треск и треск» (PDF). Информация AIAA. Хоторн, Калифорния: Системные технологии. п. 1. Архивировано 26 июня 2018 года. Проверено 3 марта 2017 года. Общие названия первых трех производных - скорость, ускорение и рывок. Не очень распространенные названия следующих трех производных - щелчок, треск и поп.CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
3. ^ ^{a b c d e f g} Виссер, Мэтт (31 марта 2004 г.). «Рывок, щелчок и космологическое уравнение состояния». Классическая и квантовая гравитация. 21 (11): 2603–2616. arXiv : gr-qc / 0309109. Bibcode : 2004CQGra..21.2603V. DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 21/11/006. ISSN   0264-9381. Snap [четвертая производная по времени] также иногда называют скачком. Пятая и шестая производные по времени иногда шутливо называют треском и треском.
4. ^ Меллингер, Дэниел; Кумар, Виджай (2011). «Создание и управление минимальной траекторией для квадрокоптеров». 2011 Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации. С. 2520–2525. DOI : 10.1109 / ICRA.2011.5980409. ISBN   978-1-61284-386-5.

• Космография: космология без уравнений Эйнштейна, Мэтт Виссер, Школа математики, статистики и информатики, Веллингтонский университет Виктории, 2004 г.