Счастливое число

Числа с определенным свойством, включающим рекурсивное суммирование

В теории чисел, a счастливое число - это число, которое в конечном итоге достигает 1 при замене на сумму квадратов каждой цифры. Например, 13 - хорошее число, потому что $1\; 2\; +\; 3\; 2\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{2\}\; +\; 3\; ^\; \{2\}\; =\; 10\}$и $1\; 2\; +\; 0\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{2\}\; +\; 0\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$. С другой стороны, 4 не является удачным числом, потому что последовательность, начинающаяся с $4\; 2\; =\; 16\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; ^\; \{2\}\; =\; 16\}$и $1\; 2\; +\; 6\; 2\; =\; 37\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{2\}\; +\; 6\; ^\; \{2\}\; =\; 37\}$в конечном итоге достигает $2\; 2\; +\; 0\; 2\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; 0\; ^\; \{2\}\; =\; 4\}$, номер, с которого началась последовательность, и поэтому процесс продолжается в бесконечном цикле, никогда не достигая 1. Число, которое не приносит счастья, называется грустным или несчастный .

В более общем смысле, a $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастливое число - это натуральное число в заданном основании числа $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$, который в конечном итоге достигает 1 при итерации по функции совершенного цифрового инварианта для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$.

Происхождение счастливого цифры не понятны. Счастливые числа обратила внимание (британский автор и старший преподаватель чистой математики в университете Лидса ) его дочь, которая узнала о них в школе. Однако они «могли происходить из России» (Гай 2004 : §E34).

• 1 Счастливые числа и совершенные цифровые инварианты
  • 1.1 Естественная плотность $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастливых чисел
  • 1.2 Счастливые базы
• 2 Конкретные $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастливые числа
  • 2.1 4-счастливые числа
  • 2.2 6-счастливые числа
  • 2.3 10-счастливые числа
• 3 счастливых простых числа
  • 3.1 6-счастливые простые числа
  • 3.2 10-счастливые простые числа
  • 3.3 12-счастливые простые числа
• 4 Пример программирования
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Литература
• 8 Внешние ссылки

Формально, пусть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$будет натуральным числом. Учитывая функцию идеального цифрового инварианта

$F\; p,\; b\; (n)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \lfloor \; log\; b\; \; n\; \rfloor \; (n\; mod\; bi\; +\; 1\; -\; n\; mod\; bibi)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p,\; b\; \}\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; lfloor\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; \{n\}\; \backslash \; rfloor\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; \{\backslash \; bmod\; \{b\; ^\; \{i\; +\; 1\}\})\; \}\; -n\; \{\backslash \; bmod\; \{b\; ^\; \{i\}\}\}\}\; \{b\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{p\}\}$.

для базы $b>1\; \{\backslash \; displaystyle\; b>1\}$, число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равно $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастлив, если существует $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$такой, что $F\; 2,\; bj\; (n)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\; ^\; \{j\}\; (n)\; =\; 1\}$, где $F\; 2,\; bj\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\; ^\; \{j\}\}$представляет $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-й итерацию из $F\; 2,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$в противном случае - несчастливы. Если число a нетривиальный совершенный цифровой инвариант из $F\; 2,\; b\; \{\; \backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$, тогда это $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- несчастлив.

Например, 19 означает 10-счастье, так как

$F\; 2,\; 10\; (19)\; =\; 1\; 2\; +\; 9\; 2\; =\; 82\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,10\}\; (19)\; =\; 1\; ^\; \{\; 2\}\; +\; 9\; ^\; \{2\}\; =\; 82\}$

$F\; 2,\; 10\; 2\; (19)\; =\; F\; 2,\; 10\; (82)\; =\; 8\; 2\; +\; 2\; 2\; =\; 68\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,10\}\; ^\; \{2\; \}\; (19)\; =\; F\_\; \{2,10\}\; (82)\; =\; 8\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; =\; 68\}$

$F\; 2,\; 10\; 3\; (19)\; =\; F\; 2,\; 10\; (68)\; =\; 6\; 2\; +\; 8\; 2\; =\; 100\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{2,10\}\; ^\; \{3\}\; (19)\; =\; F\_\; \{2,10\}\; (68)\; =\; 6\; ^\; \{2\}\; +\; 8\; ^\; \{2\}\; =\; 100\}$

$F\; 2,\; 10\; 4\; (19)\; =\; F\; 2,\; 10\; (100)\; =\; 1\; 2\; +\; 0\; 2\; +\; 0\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,10\}\; ^\; \{4\}\; (19)\; =\; F\_\; \{2,10\}\; (100)\; =\; 1\; ^\; \{2\}\; +\; 0\; ^\; \{2\}\; +\; 0\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

Например, 347 - это 6-счастье, так как

$F\; 2,\; 6\; (347)\; =\; F\; 2,\; 6\; (1335\; 6)\; =\; 1\; 2\; +\; 3\; 2\; +\; 3\; 2\; +\; 5\; 2\; =\; 44\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,6\}\; (347)\; =\; F\_\; \{2,6\}\; (1335\_\; \{6\})\; =\; 1\; ^\; \{2\; \}\; +\; 3\; ^\; \{2\}\; +\; 3\; ^\; \{2\}\; +\; 5\; ^\; \{2\}\; =\; 44\}$

$F\; 2,\; 6\; 2\; (347)\; =\; F\; 2,\; 6\; (44)\; =\; F\; 2,\; 6\; (112\; 6)\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 2\; 2\; =\; 6\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{2,6\}\; ^\; \{2\}\; (347)\; =\; F\_\; \{2,6\}\; (44)\; =\; F\_\; \{2,6\}\; (112\_\; \{6\})\; =\; 1\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; =\; 6\}$

$F\; 2,\; 6\; 3\; (347)\; =\; F\; 2,\; 6\; (6)\; =\; F\; 2,\; 6\; (10\; 6)\; =\; 1\; 2\; +\; 0\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{2,6\}\; ^\; \{3\}\; (347)\; =\; F\_\; \{2,6\}\; (6)\; =\; F\_\; \{2,6\}\; (10\_\; \{6\})\; =\; 1\; ^\; \{\; 2\}\; +\; 0\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

Есть повторяется бесконечно много $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастливых чисел, поскольку 1 является $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастливым числом, и для каждого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\}$($10\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\}$в базе $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \}$) $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастлив, так как его сумма равна 1. Счастье числа сохраняется за счет удаления или вставки нулей по желанию, поскольку они не вносят вклад в общую сумму.

Естественная плотность $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастливых чисел

При рассмотрении первого миллиона или около того 10-значных чисел оказывается, что они имеют естественную плотность около 0,15. Возможно, что удивительно, но 10-счастливые числа не имеют асимптотической плотности. Верхняя плотность счастливых чисел больше 0,18577, а нижняя плотность меньше 0,1138.

Счастливые основания

Нерешенная задача в математике :. основание 2 и основание 4 единственные счастливые основы? (больше нерешенных задач в математике)

Счастливое основание - это числовое основание $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$где каждое число - $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- счастье. Единственными счастливыми основаниями меньше 5 × 10 являются основание 2 и основание 4.

4-счастливые числа

Для $b\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 4\}$, единственный положительный идеальный цифровой инвариант для $F\; 2,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$- это тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, других циклов нет. Поскольку все числа являются препериодическими точками для $F\; 2,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$, все числа ведут к 1 и являются счастливыми. В результате база 4 является счастливой базой.

6-счастливые числа

Для $b\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 6\}$, единственный положительный идеальный цифровой инвариант для $F\; 2,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$- тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, а единственный цикл - это цикл из восьми чисел

5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 →...

, и поскольку все числа являются препериодическими точками для $F\; 2,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$, все числа либо ведут к 1 и счастливы, или ведут в круговорот и несчастны. Поскольку основание 6 не имеет других совершенных цифровых инвариантов, кроме 1, никакое положительное целое число, кроме 1, не является суммой квадратов его собственных цифр.

В базе 10 74 шестизначных числа до 1296 = 6:

1, 6, 36, 44, 49, 79, 100, 160, 170, 216, 224, 229, 254, 264, 275, 285, 289, 294, 335, 347, 355, 357, 388, 405, 415, 417, 439, 460, 469, 474, 533, 538, 580, 593, 600, 608, 628, 638, 647, 695, 707, 715, 717, 767, 777, 787, 835, 837, 847, 880, 890, 928, 940, 953, 960, 968, 1010, 1018, 1020, 1033, 1058, 1125, 1135, 1137, 1168, 1178, 1187, 1195, 1197, 1207, 1238, 1277, 1292, 1295

10-счастливые числа

Для $b\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 10\}$, единственный положительный идеальный цифровой инвариант для $F\; 2,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$- это тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, и единственный цикл цикл из восьми чисел

4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 →...

и поскольку все числа являются предпериодическими точками для $F\; 2,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2,\; b\}\}$, все числа либо ведут к 1 и являются счастливыми, либо ведут к циклу и несчастливы. Поскольку основание 10 не имеет других совершенных цифровых инвариантов, кроме 1, никакое положительное целое число, кроме 1, не является суммой квадратов его собственных цифр.

В базе 10 143 10-счастливых числа до 1000:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000 (последовательность A007770 в OEIS ).

Различные комбинации цифр, которые образуют 10-счастливые числа ниже 1000 (остальные - просто перестановки и / или вставки нулевых цифр):

1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899. (последовательность A124095 в OEIS ).

Первая пара последовательных 10-счастливых чисел - это 31 и 32. Первый набор из трех последовательных - это 1880, 1881 и 1882. Было доказано, что существуют последовательности последовательных счастливых чисел любого натурального длина номера. Начало первого прогона не менее n последовательных 10-значных чисел для n = 1, 2, 3,...:

1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 7899999999999959999999996,...

Количество 10-счастливых чисел до 10 для 1 ≤ n ≤ 20:

3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 1377085327968562336, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294.

A $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-happy prime - это число, которое одновременно является $b\; \{\}\; 126>$-счастлив и простое. В отличие от счастливых чисел, перестановка цифр a $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-счастливого простого числа не обязательно приведет к другому счастливому простому числу. Например, в то время как 19 - это простое число с 10 счастливыми числами, 91 = 13 × 7 не является простым числом (но все же является 10-счастливым).

Все простые числа - это простые числа с двумя и четырьмя счастливыми числами, так как с основанием 2 и с основанием 4 являются счастливые основания.

6-счастливые простые числа

В основание 6, 6-счастливые простые числа ниже 1296 = 6 равны

211, 1021, 1335, 2011, 2425, 2555, 3351, 4225, 4441, 5255, 5525

10-счастливые простые числа

В base 10 10-счастливые простые числа ниже 500 равны

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (последовательность A035497 в OEIS ).

палиндромное простое число 10 + 7426247 × 10 + 1 - это 10-счастливое простое число из 150007 цифр, потому что множество нулей не влияет на сумму квадратов цифр, а 1 + 7 + 4 + 2 + 6 + 2 + 4 + 7 + 1 = 176, что является 10-счастливым числом. Пол Джоблинг открыл простое число в 2005 году.

По состоянию на 2010 год, наибольшее известное 10-счастливое простое число равно 2 - 1 (простое число Мерсенна ). Его десятичное расширение состоит из 12837064 цифр.

12-счастливые простые числа

Интересно, что в базе 12, нет 12-счастливых простых чисел меньше 10000, первые 12-счастливые простые числа:

11031, 1233E, 13011, 1332E, 16377, 17367, 17637, 22E8E, 2331E, 233E1, 23955, 25935, 25X8E, 28X5E, 28XE5, 2X8E5, 2E82E, 2E8X5, 31011, 31101, 3123E, 3132E, 31677, 33E21, 35295, 35567, 357657, 37167, 35925, 39525, 4878E, 4X7X7, 53567, 55367, 55637, 56357, 57635, 58XX5, 5X82E, 5XX85, 606EE, 63575, 63771, 66E0E, 67317, 67371, 67535, 6E60E, 71367, 71637, 82167, 76X5, 76X5 82EX5, 8487E, 848E7, ​​84E87, 8874E, 8X1X7, 8X25E, 8X2E5, 8X5X5, 8XX17, 8XX71, 8E2X5, 8E847, 92355, 93255, 93525, 95235, X85X87, X258E, X285, X85, X85, X85, X85, X85, X85, X85 E228E, E606E, E822E, EX825,...

В приведенных ниже примерах реализована функция идеального цифрового инварианта для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$и базой по умолчанию $b\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 10\}$, неоднократно описанной в определении счастья, приведенном в верхней части этой статьи; после каждого раза они проверяют оба условия остановки: достижение 1 и повторение числа.

Простой тест в Python для проверки правильности числа:

def pdi_function (number, base: int = 10): "" "Совершенная цифровая инвариантная функция." "" total = 0 while number>0: total = total + pow (number% base, 2) number = number // общее возвращение базы def is_happy ( number: int) ->bool: "" "Определите, является ли указанное число счастливым числом." "" seen_numbers = while number>1 и number not in visible_numbers: seen_numbers.append (number) number = pdi_function (number) return number == 1

• Арифметическая динамика
• Удачное число
• Число Харшада
• Счастливое число
• Совершенный цифровой инвариант

• Гай, Ричард (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-20860-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• Шнайдер, Вальтер: Мэтьюз: Счастливые числа.
• Вайсштейн, Эрик У. «Счастливое число». MathWorld.
• вычислить, удачно ли число
• Счастливые числа в Math Forum.
• 145 и Melancoil в Numberphile.
• Саймондс, Риа. "7 и счастливые числа". Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал от 15 января 2018 г. Получено 2 апреля 2013 г.