Обобщенная арифметическая прогрессия

редактировать

. В математика, множественная арифметическая прогрессия, обобщенная арифметическая прогрессия или полулинейный набор, является обобщением арифметической прогрессии, снабженной с множеством общих отличий. В то время как арифметическая прогрессия генерируется одним общим различием, обобщенная арифметическая прогрессия может быть произведена множеством общих различий. Например, последовательность $17, 20, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29… {\ displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29 \ dots}$ ${\ displaystyle 17,20, 22,23,25,26,27,28,29 \ dots}$ не является арифметической прогрессией, а вместо этого создается, начиная с 17 и добавляя 3 или 5, что позволяет генерировать несколько общих различий.

Содержание

1 Конечная обобщенная арифметическая прогрессия
2 Полулинейные множества
3 См. Также
4 Ссылки

Конечная обобщенная арифметическая прогрессия

A Конечная обобщенная арифметическая прогрессия или иногда просто Обобщенная арифметическая прогрессия (GAP) размерности d определяется как набор вида

{x 0 + l 1 x 1 + ⋯ + ldxd: 0 ≤ l 1 < L 1, …, 0 ≤ l d < L d } {\displaystyle \{x_{0}+l_{1}x_{1}+\cdots +l_{d}x_{d}:0\leq l_{1}

{\ displaystyle \ {x_ {0} + l_ {1} x_ {1} + \ cdots + l_ {d} x_ {d}: 0 \ leq l_ {1 } <L_ {1}, \ ldots, 0 \ leq l_ {d} <L_ {d} \}}

где $x 0, x 1,…, xd, L 1,…, L d ∈ Z {\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {d}, L_ {1}, \ dots, L_ {d} \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {d}, L_ {1}, \ dots, L_ { d} \ in \ mathbb {Z}}$ . Произведение $L 1 L 2 ⋯ L d {\ displaystyle L_ {1} L_ {2} \ cdots L_ {d}}$ ${\ displaystyle L_ {1} L_ {2} \ cdots L_ {d}}$ называется размером обобщенной арифметики. прогрессирование; мощность набора может отличаться от размера, если некоторые элементы набора имеют несколько представлений. Если количество элементов равно размеру, последовательность называется собственно . Обобщенные арифметические прогрессии можно рассматривать как проекцию сетки более высокого измерения в $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ . Эта проекция инъективна тогда и только тогда, когда обобщенная арифметическая прогрессия верна.

Полулинейные множества

Формально арифметическая прогрессия $N d {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ представляет собой бесконечную последовательность форма $v, v + v ', v + 2 v', v + 3 v ',… {\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} + \ mathbf {v}', \ mathbf {v } +2 \ mathbf {v} ', \ mathbf {v} +3 \ mathbf {v}', \ ldots}$ $\mathbf {v},\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots$ , где $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ и $v '{\ displaystyle \ mathbf {v}'}$ $\mathbf{v}'$ - фиксированные векторы в $N d {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ , называемые начальным вектором и общей разностью соответственно. Подмножество $N d {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ называется linear, если оно имеет форму

{v + ∑ я знак равно 1 я знак равно mkivi: к 1,…, km ∈ N}, {\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {v} + \ sum _ {i = 1} ^ {i = m} k_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \, \ двоеточие \, k_ {1}, \ dots, k_ {m} \ in \ mathbb {N} \ right \},}

{\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {v} + \ sum _ {i = 1} ^ {i = m} k_ {i} \ mathbf { v} _ {i} \, \ двоеточие \, k_ {1}, \ dots, k_ {m} \ in \ mathbb {N} \ right \},}

где $m {\ displaystyle m}$ $m$ - некоторое целое число и $v, v 1,…, vm {\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} _ {1}, \ точки, \ mathbf {v} _ {m}}$ - фиксированные векторы в $N d {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ . Подмножество $N d {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ называется полулинейным, если оно является конечным объединением линейных множеств.

Полулинейные множества - это в точности множества, определяемые в арифметике Пресбургера.

См. Также

теорему Фреймана

Ссылки

Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм. Тексты для выпускников по математике. 165 . Springer. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.