Четвертая, пятая и шестая производные от позиции

редактировать

Производные по времени от позиции

В физике, четвертая, пятая и шестая производные положения определены как производные вектора положения по времени - с первая, вторая и третья производные представляют собой скорость, ускорение и рывок соответственно. Однако эти производные высшего порядка появляются редко, и их названия нестандартны.

Четвертая производная часто упоминается как щелчок или скачок . Название «щелчок» для четвертой производной привело к кракле и поп для пятой и шестой производных, вдохновленных рекламными талисманами Snap, Crackle и Pop. Они иногда используются, хотя и «иногда несколько шутливо».

Содержание

1 Четвертая производная (щелчок / толчок)
2 Пятая производная (треск)
3 Шестая производная (щелчок / удар)
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Четвертая производная (snap / jounce)

Snap, или jounce, является четвертой производной от вектор положения по отношению к времени или скорость изменения рывка по времени. Эквивалентно, это вторая производная от ускорения или третья производная от скорости, и определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

s → = d ȷ → dt = d 2 a → dt 2 = d 3 v → dt 3 = d 4 r → dt 4. {\ displaystyle {\ vec {s}} = {\ frac {d \, {\ vec {\ jmath}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {a}}} { dt ^ {2}}} = {\ frac {d ^ {3} {\ vec {v}}} {dt ^ {3}}} = {\ frac {d ^ {4} {\ vec {r}} } {dt ^ {4}}}.}

{\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.

Следующие уравнения используются для постоянной привязки:

ȷ → = ȷ → 0 + s → t, {\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} = { \ vec {\ jmath}} _ {0} + {\ vec {s}} t,}

{\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,

a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → t 2, {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {0} + {\ vec {\ jmath}} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ vec {s}} t ^ { 2},}

{\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},

v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → t 3, {\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v }} _ {0} + {\ vec {a}} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} t ^ {2} + {\ frac {1} {6}} {\ vec {s}} t ^ {3},}

{\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},

r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → t 4, {\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ vec {a}} _ {0} t ^ {2} + {\ frac {1} {6}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} t ^ {3} + { \ frac {1} {24}} {\ vec {s}} t ^ {4},}

{\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},

где

s → {\ displaystyle {\ vec {s}}}

{\vec {s}}

- постоянная привязка,

ȷ → 0 {\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {0}}

{\vec {\jmath }}_{0}

- начальный рывок,

ȷ → {\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}

{\vec {\jmath }}

- конечный рывок,

a → 0 {\ displaystyle {\ vec { a}} _ {0}}

{\vec {a}}_{0}

- начальное ускорение,

a → {\ displaystyle {\ vec {a}}}

{\vec {a}}

- конечное ускорение,

v → 0 {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}}

{\vec {v}}_{0}

- начальная скорость,

v → {\ displaystyle {\ vec {v}}}

{\vec {v}}

- конечная скорость,

r → 0 {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}

{\vec {r}}_{0}

- начальная позиция,

r → {\ displaystyle {\ vec {r}}}

{\vec {r}}

- конечная позиция,

t {\ displaystyle t}

t

- время между начальным и конечным состояниями.

Обозначение $s → {\ displaystyle {\ vec {s} }}$ ${\vec {s}}$ (используется Visser) не следует путать с вектором смещения, обычно обозначаемым аналогично.

Размеры привязки - это расстояние в четвертой степени времени. В единицах СИ это «метры в секунду до четвертых», м / с, м⋅с или 100 галлон в секунду в квадрате в единицах CGS..

Пятая производная (треск)

Треск - пятая производная вектора положения относительно времени, с первая, вторая, третья и четвертая производные - это скорость, ускорение, рывок и щелчок соответственно; треск, таким образом, представляет собой скорость изменения щелчка во времени. Кракл определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

c → = ds → dt = d 2 ȷ → dt 2 = d 3 a → dt 3 = d 4 v → dt 4 = d 5 r → dt 5 {\ displaystyle {\ vec {c}} = {\ frac {d {\ vec {s}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {\ jmath}}} {dt ^ {2 }}} = {\ frac {d ^ {3} {\ vec {a}}} {dt ^ {3}}} = {\ frac {d ^ {4} {\ vec {v}}} {dt ^ {4}}} = {\ frac {d ^ {5} {\ vec {r}}} {dt ^ {5}}}}

{\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}

Следующие уравнения используются для постоянного треска:

s → = s → 0 + c → t {\ displaystyle {\ vec {s}} = {\ vec {s}} _ {0} + {\ vec {c}} \, t}

{\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t

ȷ → = ȷ → 0 + s → 0 T + 1 2 с → T 2 {\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} = {\ vec {\ jmath}} _ {0} + {\ vec {s}} _ {0} \, t + {\ frac {1} {2}} {\ vec {c}} \, t ^ {2}}

{\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}

a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → 0 t 2 + 1 6 с → t 3 {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {0} + {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t + {\ frac {1} { 2}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {2} + {\ frac {1} {6}} {\ vec {c}} \, t ^ {3}}

{\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}

v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → 0 t 3 + 1 24 c → t 4 {\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v }} _ {0} + {\ vec {a}} _ {0} \, t + {\ frac {1} {2}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t ^ {2} + { \ frac {1} {6}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {3} + {\ frac {1} {24}} {\ vec {c}} \, t ^ { 4}}

{\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}

r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → 0 t 4 + 1 120 c → t 5 {\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} \, t + {\ frac {1} {2}} {\ vec {а }} _ {0} \, t ^ {2} + {\ frac {1} {6}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} \, t ^ {3} + {\ frac {1} {24}} {\ vec {s}} _ {0} \, t ^ {4} + {\ frac {1} {120}} {\ vec {c}} \, t ^ {5}}

{\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}

где

c → {\ displaystyle {\ vec {c}}}

{\vec {c}}

: постоянный треск,

s → 0 {\ displaystyle {\ vec {s}} _ {0}}

{\vec {s}}_{0}

: начальная привязка,

s → {\ displaystyle {\ vec {s}}}

{\vec {s}}

: окончательная привязка,

ȷ → 0 {\ displaystyle {\ vec {\ jmath }} _ {0}}

{\vec {\jmath }}_{0}

: начальный рывок,

ȷ → {\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}}

{\vec {\jmath }}

: конечный рывок,

a → 0 {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {0}}

{\vec {a}}_{0}

: начальное ускорение,

a → {\ displaystyle {\ vec {a}}}

{\vec {a}}

: окончательное ускорение,

v → 0 {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}}

{\vec {v}}_{0}

: начальная скорость,

v → {\ displaystyle {\ vec {v}}}

{\vec {v}}

: конечная скорость,

r → 0 {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}

{\vec {r}}_{0}

: начальная позиция,

r → {\ displaystyle {\ vec {r}}}

{\vec {r}}

: конечная позиция,

t {\ displaystyle t}

t

: время между начальным и конечным состояниями.

Размеры потрескивания - LT. В единицах СИ это м / с, а в единицах CGS - 100 галлон в кубе секунды.

Шестая производная (pop / pounce)

Pop (иногда Pounce) - шестая производная вектора положения относительно время, где первая, вторая, третья, четвертая и пятая производные - это скорость, ускорение, рывок, щелчок, и потрескивание соответственно; pop, таким образом, представляет собой скорость изменения треска во времени. Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

p → = dc → dt = d 2 s → dt 2 = d 3 ȷ → dt 3 = d 4 a → dt 4 = d 5 v → dt 5 = d 6 р → dt 6 {\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ frac {d {\ vec {c}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {s}} } {dt ^ {2}}} = {\ frac {d ^ {3} {\ vec {\ jmath}}} {dt ^ {3}}} = {\ frac {d ^ {4} {\ vec { a}}} {dt ^ {4}}} = {\ frac {d ^ {5} {\ vec {v}}} {dt ^ {5}}} = {\ frac {d ^ {6} {\ vec {r}}} {dt ^ {6}}}}

{\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}

Следующие уравнения используются для постоянной популярности:

c → = c → 0 + p → t {\ displaystyle {\ vec {c}} = {\ vec {c}} _ {0} + {\ vec {p}} \, t}

{\vec {c}}={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t

s → = s → 0 + c → 0 t + 1 2 p → t 2 {\ displaystyle {\ vec {s}} = {\ vec {s}} _ {0} + {\ vec {c}} _ {0} \, t + {\ frac {1} {2}} {\ vec {p}} \, т ^ {2}}

{\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}

ȷ → = ȷ → 0 + s → 0 t + 1 2 c → 0 t 2 + 1 6 p → t 3 {\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}}

{\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}

a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → 0 t 2 + 1 6 c → 0 t 3 + 1 24 p → t 4 {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}}

{\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}

v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → 0 t 3 + 1 24 c → 0 t 4 + 1 120 p → t 5 {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}}

{\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}

r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → 0 t 4 + 1 120 c → 0 t 5 + 1 720 p → t 6 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\frac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}}

{\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\frac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}

where

p → {\displaystyle {\vec {p}}}

{\vec {p}}

: constant pop,

c → 0 {\displaystyle {\vec {c}}_{0}}

{\vec {c}}_{0}

: initial crackle,

c → {\displaystyle {\vec {c}}}

{\vec {c}}

: final crackle,

s → 0 {\displaystyle {\vec {s}}_{0}}

{\vec {s}}_{0}

: initial snap,

s → {\displaystyle {\vec {s}}}

{\vec {s}}

: final snap,

ȷ → 0 {\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}

{\vec {\jmath }}_{0}

: initial jerk,

ȷ → {\displaystyle {\vec {\jmath }}}

{\vec {\jmath }}

: final jerk,

a → 0 {\displaystyle {\vec {a}}_{0}}

{\vec {a}}_{0}

: initial acceleration,

a → {\displaystyle {\vec {a}}}

{\vec {a}}

: final acceleration,

v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}}

{\vec {v}}_{0}

: initial velocity,

v → {\displaystyle {\vec {v}}}

{\vec {v}}

: final velocity,

r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}}

{\vec {r}}_{0}

: initial position,

r → {\displaystyle {\vec {r}}}

{\vec {r}}

: final position,

t {\displaystyle t}

t

: time between initial and final states.

The dimensions of pop are LT. In SI units, this is m/s, and in CGS units, 100 gal per quartic second.

References

External links

Look up snap, jounce, crackle, flounce, pop, or pounce in Wiktionary, the free dictionary.

Cosmography: cosmology without the Einstein equations, Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.