Десятиугольное число

A Десятиугольное число - это фигуральное число, которое расширяет концепцию треугольного и квадратные числа до десятиугольника (десятигранный многоугольник). Однако, в отличие от треугольных и квадратных чисел, шаблоны, участвующие в построении десятиугольных чисел, не являются вращательно-симметричными. В частности, n-е десятиугольное число подсчитывает количество точек в шаблоне вложенных декагонов, имеющих общий угол, где i-й десятиугольник в шаблоне имеет стороны, состоящие из i точек, расположенных на расстоянии одной единицы друг от друга. N-е десятиугольное число задается формулой

$D\; n\; =\; 4\; n\; 2\; -\; 3\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{n\}\; =\; 4n\; ^\; \{2\}\; -3n.\}$

Первые несколько десятиугольных чисел:

0, 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, 1540, 1701, 1870, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000, 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7965, 8326 (последовательность A001107 в OEIS )

n-е десятиугольное число также может вычисляется путем добавления квадрата n к троекратному (n − 1) -ому проническому числу или, выражаясь алгебраически, как

$D\; n\; =\; n\; 2\; +\; 3\; (n\; 2\; -\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{n\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; +3\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; -n\; \backslash \; right).\}$

• Десятиугольные числа последовательно чередуются четность.