Симметричная форма Карлсона

редактировать

В математике, симметричная форма Карлсона эллиптических интегралов представляют собой небольшой канонический набор эллиптических интегралов, к которому могут быть сведены все остальные. Они являются современной альтернативой Лежандровым формам. Формы Лежандра могут быть выражены в терминах форм Карлсона и наоборот.

Эллиптические интегралы Карлсона:

RF (x, y, z) = 1 2 ∫ 0 ∞ dt (t + x) (t + y) (t + z) {\ displaystyle R_ { F} (x, y, z) = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}

R_ {F} (x, y, z) = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {{\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}

RJ (x, y, z, p) = 3 2 ∫ 0 ∞ dt (t + p) (t + x) (t + y) (t + z) {\ displaystyle R_ {J} (x, y, z, p) = {\ tfrac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + p) {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}}

R_ {J} (x, y, z, p) = {\ tfrac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + p) {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}

RC (x, y) = RF (x, y, y) = 1 2 ∫ 0 ∞ dt ( t + y) (t + x) {\ displaystyle R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + y) {\ sqrt {(t + x)}}}}}

R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = {\ tfrac {1} { 2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + y) {\ sqrt {(t + x)}}}}

RD (x, y, z) = RJ (x, y, z, z) знак равно 3 2 ∫ 0 ∞ dt (t + z) (t + x) (t + y) (t + z) {\ displaystyle R_ {D} (x, y, z) = R_ {J} ( x, y, z, z) = {\ tfrac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + z) \, {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}}

R_ {D} (x, y, z) = R_ {J} (x, y, z, z) = {\ tfrac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + z) \, {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}

Поскольку $RC {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {C}}}$ $\ scriptstyle {R_ {C}}$ и $RD { \ displaystyle \ scriptstyle {R_ {D}}}$ $\ scriptstyle {R_ {D}}$ являются частными случаями $RF {\ displaystyle \ scripts tyle {R_ {F}}}$ $\ scriptstyle {R_ {F}}$ и $RJ {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}}$ $\ scriptstyle {R_ {J}}$ , все эллиптические интегралы в конечном итоге могут быть вычислены с точки зрения всего $RF {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}}$ $\ scriptstyle {R_ {F}}$ и $RJ {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}}$ $\ scriptstyle {R_ {J}}$ .

Термин "симметричный" относится к тому факту, что в В отличие от форм Лежандра, эти функции не меняются при обмене некоторыми их аргументами. Значение $RF (x, y, z) {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {F} (x, y, z)}}$ $\ стиль сценария {R_ {F} (x, y, z)}$ одинаково для любой перестановки его аргументов, и значение $RJ (x, y, z, p) {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J} (x, y, z, p)}}$ $\ scriptstyle {R_ {J} (x, y, z, p)}$ одинаково для любой перестановки его первые три аргумента.

Эллиптические интегралы Карлсона названы в честь Билла К. Карлсона.

Содержание

1 Связь с формами Лежандра
- 1.1 Неполные эллиптические интегралы
- 1.2 Полные эллиптические интегралы
2 Частные случаи
3 Свойства
- 3.1 Однородность
- 3.2 Теорема дублирования
4-я серия Расширение
5 Отрицательные аргументы
6 Числовая оценка
7 Ссылки и внешние ссылки

Связь с формами Лежандра

Неполные эллиптические интегралы

Неполные эллиптические интегралы можно легко вычислить с помощью симметричных форм Карлсона:

F (ϕ, k) = sin ⁡ ϕ RF (cos 2 ⁡ ϕ, 1 - k 2 sin 2 ⁡ ϕ, 1) {\ displaystyle F (\ phi, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right)}

F (\ p привет, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right)

E (ϕ, k) = sin ⁡ ϕ RF (cos 2 ⁡ ϕ, 1 - k 2 sin 2 ⁡ ϕ, 1) - 1 3 k 2 sin 3 ⁡ ϕ RD (cos 2 ⁡ ϕ, 1 - k 2 грех 2 ⁡ ϕ, 1) {\ Displaystyle E (\ phi, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } \ phi, 1 \ right) - {\ tfrac {1} {3}} k ^ {2} \ sin ^ {3} \ phi R_ {D} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1- k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right)}

E (\ phi, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right) - {\ tfrac {1 } {3}} k ^ {2} \ sin ^ {3} \ phi R_ {D} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right)

Π (ϕ, n, k) = sin ⁡ ϕ RF (cos 2 ⁡ ϕ, 1 - k 2 sin 2 ⁡ ϕ, 1) + 1 3 n sin 3 ⁡ ϕ RJ (cos 2 ⁡ ϕ, 1 - k 2 sin 2 ⁡ ϕ, 1, 1 - n грех 2 ⁡ ϕ) {\ Displaystyle \ Pi (\ phi, n, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right) + {\ tfrac {1} {3}} n \ sin ^ {3} \ phi R_ {J} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1,1-n \ sin ^ {2} \ phi \ right)}

\ Pi (\ phi, n, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right) + {\ tfrac {1} {3}} n \ sin ^ {3} \ phi R_ { J} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1,1-n \ sin ^ {2} \ phi \ right)

(Примечание: приведенное выше верно только для $0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq 2 \ pi}$ $0 \ leq \ phi \ leq 2 \ pi$ и $0 ≤ k 2 sin 2 ⁡ ϕ ≤ 1 {\ displaystyle 0 \ leq k ^ {2} \ sin ^ {2 } \ phi \ leq 1}$ $0 \ leq k ^ {2} \ грех ^ {2} \ phi \ leq 1$ )

Полные эллиптические интегралы

Полные эллиптические интегралы можно вычислить, подставив φ = ⁄ 2 π:

K (К) знак равно RF (0, 1 - К 2, 1) {\ Displaystyle К (к) = R_ {F} \ влево (0,1-k ^ {2}, 1 \ вправо)}

K (k) = R_ {F} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right)

E ( k) знак равно RF (0, 1 - k 2, 1) - 1 3 k 2 RD (0, 1 - k 2, 1) {\ displaystyle E (k) = R_ {F} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right) - {\ tfrac {1} {3}} k ^ {2} R_ {D} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right)}

E (k) = R_ {F} \ left (0,1 -k ^ {2}, 1 \ right) - {\ tfrac {1} {3}} k ^ {2} R_ {D} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right)

Π (n, k) = RF (0, 1 - k 2, 1) + 1 3 n RJ (0, 1 - k 2, 1, 1 - n) { \ Displaystyle \ Pi (n, k) = R_ {F} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right) + {\ tfrac {1} {3}} nR_ {J} \ left (0, 1-k ^ {2}, 1,1-n \ right)}

\ Pi (n, k) = R_ {F} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right) + {\ tfrac {1} {3}} nR_ {J} \ left (0, 1-k ^ {2}, 1,1-n \ справа)

Особые случаи

Когда любые два или все три аргумента $RF {\ displaystyle R_ {F }}$ $R_ {F}$ одинаковы, то замена $t + x = u {\ displaystyle {\ sqrt {t + x}} = u}$ ${ \ sqrt {t + x}} = u$ делает подынтегральное выражение рациональным. Тогда интеграл может быть выражен через элементарные трансцендентные функции.

RC (x, y) = RF (x, y, y) = 1 2 ∫ 0 ∞ 1 t + x (t + y) dt = ∫ x ∞ 1 u 2 - x + ydu = {arccos ⁡ xyy - x, x < y 1 y, x = y a r c c o s h x y x − y, x>y {\ displaystyle R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {t + x}} (t + y)}} dt = \ int _ {\ sqrt {x}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {u ^ {2} -x + y}} du = {\ begin {cases} {\ frac {\ arccos {\ sqrt {\ frac {x} {y}}}} {\ sqrt {yx}}}, x y \\\ end {cases}}}

R_{{C}}(x,y)=R_{{F}}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac {1}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}dt=\int _{{{\sqrt {x}}}}^{{\infty }}{\frac {1}{u^{{2}}-x+y}}du={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {{\frac {x}{y}}}}}{{\sqrt {y-x}}}},x<y\\{\frac {1}{{\sqrt {y}}}},x=y\\{\frac {{\mathrm {arccosh}}{\sqrt {{\frac {x}{y}}}}}{{\sqrt {x-y}}}},x>y \\\ end {ases}}

Аналогично, если хотя бы два из первых трех аргументов $RJ {\ displaystyle R_ {J}}$ $R_ {J}$ одинаковы,

RJ (x, y, y, p) = 3 ∫ x ∞ 1 (u 2 - x + y) (u 2 - x + p) du = {3 p - y ( RC (x, y) - RC (x, p)), y ≠ p 3 2 (y - x) (RC (x, y) - 1 yx), y = p ≠ x 1 y 3 2, y = p знак равно x {\ displaystyle R_ {J} (x, y, y, p) = 3 \ int _ {\ sqrt {x}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(u ^ {2} -x + y) (u ^ {2} -x + p)}} du = {\ begin {cases} {\ frac {3} {py} } (R_ {C} (x, y) -R_ {C} (x, p)), y \ neq p \\ {\ frac {3} {2 (yx)}} \ left (R_ {C} ( x, y) - {\ frac {1} {y}} {\ sqrt {x}} \ right), y = p \ neq x \\ {\ frac {1} {y ^ {\ frac {3} { 2}}}}, y = p = x \\\ end {cases}}}

R _ {{J}} (x, y, y, p) = 3 \ int _ {{{\ sqrt {x}}}}} ^ {{ \ infty}} {\ frac {1} {(u ^ {{2}} - x + y) (u ^ {{2}} - x + p)}} du = {\ begin {cases} {\ frac {3} {py}} (R _ {{C}} (x, y) -R _ {{C}} (x, p)), y \ neq p \\ {\ frac {3} {2 (yx) }} \ left (R _ {{C}} (x, y) - {\ frac {1} {y}} {\ sqrt {x}} \ right), y = p \ neq x \\ {\ frac { 1} {y ^ {{{\ frac {3} {2}}}}}}, y = p = x \\\ end {case}}

Свойства

Однородность

Подставив в определения интеграла $t = κ u {\ displaystyle t = \ kappa u}$ $t = \ kappa u$ для любой константы $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ обнаруживается, что

RF (κ x, κ y, κ Z) знак равно κ - 1/2 RF (x, y, z) {\ displaystyle R_ {F} \ left (\ kappa x, \ kappa y, \ kappa z \ right) = \ kappa ^ {- 1/2 } R_ {F} (x, y, z)}

R_ {F} \ left (\ kappa x, \ kappa y, \ kappa z \ right) = \ kappa ^ {{- 1/2}} R_ {F} (x, y, z)

RJ (κ x, κ y, κ z, κ p) = κ - 3/2 RJ (x, y, z, p) {\ displaystyle R_ {J} \ left (\ kappa x, \ kappa y, \ kappa z, \ kappa p \ right) = \ kappa ^ {- 3/2} R_ {J} (x, y, z, p)}

R_ {J} \ left (\ kappa x, \ kappa y, \ kappa z, \ kappa p \ right) = \ kappa ^ {{- 3/2}} R_ {J} (x, y, z, p)

Теорема дублирования

RF (x, y, z) = 2 RF (x + λ, y + λ, z + λ) = RF (x + λ 4, y + λ 4, z + λ 4), { \ Displaystyle R_ {F} (x, y, z) = 2R_ {F} (x + \ lambda, y + \ lambda, z + \ lambda) = R_ {F} \ left ({\ frac {x + \ lambda} {4} }, {\ frac {y + \ lambda} {4}}, {\ frac {z + \ lambda} {4}} \ right),}

R_ {F} (x, y, z) = 2R_ {F} (x + \ lambda, y + \ lambda, z + \ lambda) = R_ {F} \ left ({\ frac {x + \ lambda} {4}}, {\ frac {y + \ lambda} {4}}, {\ frac {z + \ lambda} {4}} \ right),

где $λ = xy + yz + zx {\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} + {\ sqrt {y}} {\ sqrt {z}} + {\ sqrt {z}} {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} + {\ sqrt {y }} {\ sqrt {z}} + {\ sqrt {z}} {\ sqrt {x}}}$ .

RJ (x, y, z, p) = 2 RJ (x + λ, y + λ, z + λ, p + λ) + 6 RC (d 2, d 2 + (p - x) (p - y) (p - z)) = 1 4 RJ (x + λ 4, y + λ 4, z + λ 4, p + λ 4) + 6 RC (d 2, d 2 + (п - Икс) (п - Y) (п - Z)) {\ Displaystyle {\ begin {align} R_ {J} (x, y, z, p) = 2R_ {J} (x + \ lambda, y + \ lambda, z + \ lambda, p + \ lambda) + 6R_ {C} (d ^ {2}, d ^ {2} + (px) (py) (pz)) \\ = {\ frac {1 } {4}} R_ {J} \ left ({\ frac {x + \ lambda} {4}}, {\ frac {y + \ lambda} {4}}, {\ frac {z + \ lambda} {4}}), {\ frac {p + \ lambda} {4}} \ right) + 6R_ {C} (d ^ {2}, d ^ {2} + (px) (py) (pz)) \ end {выравнивается}} }

{\ begin {align} R _ {{J}} (x, y, z, p) = 2R _ {{J}} (x + \ lambda, y + \ lambda, z + \ lambda, p + \ lambda) + 6R_ {{C}} (d ^ {{2}}, d ^ {{2}} + (px) (py) (pz)) \\ = {\ frac {1} {4}} R _ {{J }} \ left ({\ frac {x + \ lambda} {4}}, {\ frac {y + \ lambda} {4}}, {\ frac {z + \ lambda} {4}}, {\ frac {p + \ лямбда} {4}} \ right) + 6R _ {{C}} (d ^ {{2}}, d ^ {{2}} + (px) (py) (pz)) \ end {align}}

где $d = (p + x) (p + y) (p + z) {\ displaystyle d = ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {x}}) ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {y}}) ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {z}})}$ $d = ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {x}}) ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {y}}) ({\ sqrt {p }} + {\ sqrt {z}})$ и $λ = xy + yz + zx { \ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} + {\ sqrt {y}} {\ sqrt {z}} + {\ sqrt {z}} {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} + {\ sqrt {y }} {\ sqrt {z}} + {\ sqrt {z}} {\ sqrt {x}}}$

Расширение серии

При получении серии Тейлора расширение для $RF {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{F}}}$ или $RJ {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{J}}}$ оказывается удобным расширить около среднего значения нескольких аргументов. Итак, для $RF {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{F}}}$ , позволяя среднему значению аргументов быть $A = (x + y + z) / 3 {\ displaystyle \ scriptstyle {A = (x + y + z) / 3}}$ $\ scriptstyle {A = (x + y + z) / 3}$ и, используя однородность, определите $Δ x {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}}$ $\ scriptstyle {\ Delta x}$ , $Δ y { \ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}}$ $\ scriptstyle {\ Delta y}$ и $Δ z {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}}$ $\ scriptstyle {\ Delta z}$ на

RF (x, y, z) Знак равно RF (A (1 - Δ x), A (1 - Δ y), A (1 - Δ z)) = 1 ARF (1 - Δ x, 1 - Δ y, 1 - Δ z) {\ displaystyle {\ begin {align} R_ {F} (x, y, z) = R_ {F} (A (1- \ Delta x), A (1- \ Delta y), A (1- \ Delta z)) \\ = {\ frac {1} {\ sqrt {A}}} R_ {F} (1- \ Delta x, 1- \ Delta y, 1- \ Delta z) \ end {align}}}

{\ begin {выровнено} R _ {{F}} (x, y, z) = R _ {{F}} (A (1- \ Delta x), A (1- \ Delta y), A (1- \ Delta z))) \\ = {\ frac {1} {{\ sqrt {A}}}} R _ {{F}} (1- \ Delta x, 1- \ Delta y, 1- \ Delta z) \ end { выровнено}}

, то есть $Δ x = 1 - x / A {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x = 1-x / A}}$ $\ scriptstyle {\ Delta x = 1-x / A}$ и т. Д. Различия $Δ x {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}}$ $\ scriptstyle {\ Delta x}$ , $Δ y {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}}$ $\ scriptstyle {\ Delta y}$ и $Δ z {\ displaystyle \ стиль сценария {\ Delta z}}$ $\ scriptstyle {\ Delta z}$ определяется этим знаком (таким образом, что они вычитаются), чтобы соответствовать статьям Карлсона. Поскольку $RF (x, y, z) {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {F} (x, y, z)}}$ $\ scriptstyle {R_ { {F}} (x, y, z)}$ симметричен относительно перестановки $x {\ displaystyle \ scriptstyle {x}}$ $\ scriptstyle {x}$ , $y {\ displaystyle \ scriptstyle {y}}$ $\ scriptstyle {y}$ и $z {\ displaystyle \ scriptstyle {z}}$ $\ scriptstyle {z}$ , он также симметричен в величины $Δ x {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}}$ $\ scriptstyle {\ Delta x}$ , $Δ y {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}}$ $\ scriptstyle {\ Delta y}$ и $Δ z {\ displaystyle \ стиль сценария {\ Delta z}}$ $\ scriptstyle {\ Delta z}$ . Отсюда следует, что как интеграл $RF {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{F}}}$ , так и его интеграл могут быть выражены как функции от элементарных симметричных многочленов в $Δ x {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}}$ $\ scriptstyle {\ Delta x}$ , $Δ y {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}}$ $\ scriptstyle {\ Delta y}$ и $Δ z {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Дельта z}}$ $\ scriptstyle {\ Delta z}$ которые равны

E 1 = Δ x + Δ y + Δ z = 0 {\ displaystyle E_ {1} = \ Delta x + \ Delta y + \ Delta z = 0}

E _ {{1}} = \ Delta x + \ Delta y + \ Delta z = 0

E 2 знак равно Δ x Δ y + Δ y Δ z + Δ z Δ x {\ displaystyle E_ {2} = \ Delta x \ Delta y + \ Delta y \ Delta z + \ Delta z \ Delta x}

E _ {{2}} = \ Delta x \ Delta y + \ Delta y \ Delta z + \ Delta z \ Delta x

E 3 = Δ x Δ y Δ z {\ displaystyle E_ {3} = \ Delta x \ Delta y \ Delta z}

E_ { {3}} = \ Delta x \ Delta y \ Delta z

Выражение подынтегральной функции через эти многочлены, выполнение многомерного разложения Тейлора и почленное интегрирование...

RF (x, y, z) = 1 2 A ∫ 0 ∞ 1 (t + 1) 3 - (t + 1) 2 E 1 + (t + 1) E 2 - E 3 dt = 1 2 A ∫ 0 ∞ (1 (t + 1) 3 2 - E 2 2 (t + 1) 7 2 + E 3 2 (t + 1) 9 2 + 3 E 2 2 8 (t + 1) 11 2 - 3 E 2 E 3 4 (t + 1) 1 3 2 + O (E 1) + O (Δ 6)) dt = 1 A (1 - 1 10 E 2 + 1 14 E 3 + 1 24 E 2 2 - 3 44 E 2 E 3 + O (E 1) + O (Δ 6)) {\ displaystyle {\ begin {align} R_ {F} (x, y, z) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {A}}}} \ int _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ sqrt {(t + 1) ^ {3} - (t + 1) ^ {2} E_ {1} + (t + 1) E_ {2} -E_ {3}}}} dt \\ = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {A}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(t + 1) ^ {\ frac {3} {2}}}} - {\ frac {E_ {2}} {2 (t + 1) ^ {\ frac {7} {2}}}} + {\ frac {E_ {3}} {2 (t + 1) ^ {\ frac {9} {2}}}} + {\ frac {3E_ {2} ^ {2}} {8 (t + 1) ^ {\ frac {11} {2}}}} - {\ frac {3E_ {2} E_ {3}} {4 (t + 1) ^ {\ frac {13} {2}}}} + O ( E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6}) \ right) dt \\ = {\ frac {1} {\ sqrt {A}}} \ left (1 - {\ frac {1} {10 }} E_ {2} + {\ frac {1} {14}} E_ {3} + {\ frac {1} {24}} E_ {2} ^ {2} - {\ frac {3} {44} } E_ {2} E_ {3} + O (E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6}) \ right) \ end {align}}}

{\ begin {align} R _ {{F}} (x, y, z) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {A}}}} \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {{\ sqrt {(t + 1) ^ {{3}} - (t + 1) ^ {{2}} E _ {{1}} + (t + 1) E _ {{2}} - E _ {{3}}}}}} dt \\ = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {A}}}} \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} \ left ({\ frac {1} {(t + 1) ^ {{{\ frac {3} {2}}) }}}} - {\ frac {E _ {{2}}} {2 (t + 1) ^ {{{\ frac {7} {2}}}}}}} + {\ frac {E _ {{3} }} {2 (t + 1) ^ {{{\ frac {9} {2}}}}}} + {\ frac {3E _ {{2}} ^ {{2}}} {8 (t + 1) ^ {{{\ frac {11} {2}}}}}} - {\ frac {3E _ {{2}} E _ {{3}}} {4 (t + 1) ^ {{{\ frac { 13} {2}}}}}} + O (E _ {{1}}) + O (\ Delta ^ {{6}}) \ right) dt \\ = {\ frac {1} {{\ sqrt {A}}}} \ left (1 - {\ frac {1} {10}} E _ {{2}} + {\ frac {1} {14}} E _ {{3}} + {\ frac {1 } {24}} E _ {{2}} ^ {{2}} - {\ frac {3} {44}} E _ {{2}} E _ {{3}} + O (E _ {{1}}) + O (\ Delta ^ {{6}}) \ right) \ end {align}}

Преимущество расширения около среднего значения аргументы теперь очевидны; он сокращает $E 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {1}}}$ $\ scriptstyle {E_ { {1}}}$ идентично до нуля и, таким образом, исключает все термины, содержащие $E 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {1} }}$ $\ scriptstyle {E_ { {1}}}$ - которые в противном случае были бы самыми многочисленными.

Возрастающий ряд для $R J {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{J}}}$ может быть найден аналогичным образом. Это небольшая трудность, потому что $R J {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{J}}}$ не полностью симметричен; его зависимость от четвертого аргумента, $p {\ displaystyle \ scriptstyle {p}}$ $\ scriptstyle {p}$ , отличается от его зависимости от $x {\ displaystyle \ scriptstyle {x}}$ $\ scriptstyle {x}$ , $y {\ displaystyle \ scriptstyle {y}}$ $\ scriptstyle {y}$ и $z {\ displaystyle \ scriptstyle {z}}$ $\ scriptstyle {z}$ . Это преодолевается путем обработки $RJ {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{J}}}$ как полностью симметричной функции пяти аргументов, два из которых имеют одинаковое значение $p { \ Displaystyle \ scriptstyle {p}}$ $\ scriptstyle {p}$ . Следовательно, среднее значение аргументов принимается равным

A = x + y + z + 2 p 5 {\ displaystyle A = {\ frac {x + y + z + 2p} {5}}}

A = {\ frac {x + y + z + 2p} {5}}

и различия $Δ x {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}}$ $\ scriptstyle {\ Delta x}$ , $Δ y {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}}$ $\ scriptstyle {\ Delta y}$ $Δ z {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z} }$ $\ scriptstyle {\ Delta z}$ и $Δ p {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta p}}$ $\ scriptstyle {\ Delta p}$ определяется как

RJ (x, y, z, p) = RJ (A ( 1 - Δ x), A (1 - Δ y), A (1 - Δ z), A (1 - Δ p)) = 1 A 3 2 RJ (1 - Δ x, 1 - Δ y, 1 - Δ z, 1 - Δ p) {\ displaystyle {\ begin {align} R_ {J} (x, y, z, p) = R_ {J} (A (1- \ Delta x), A (1- \ Delta y), A (1- \ Delta z), A (1- \ Delta p)) \\ = {\ frac {1} {A ^ {\ frac {3} {2}}}} R_ {J } (1- \ Delta x, 1- \ Delta y, 1- \ Delta z, 1- \ Delta p) \ end {align}}}

{\ begin {align} R _ {{J}} (x, y, z, p) = R _ {{J}} (A (1- \ Delta x), A (1- \ Delta y), A (1- \ Delta z), A (1- \ Delta p)) \ \ = {\ frac {1} {A ^ {{{\ frac {3} {2}}}}}} R _ {{J}} (1- \ Delta x, 1- \ Delta y, 1- \ Delta z, 1- \ Delta p) \ end {align}}

элементарные симметричные многочлены в $Δ x {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}}$ $\ scriptstyle {\ Delta x}$ , $Δ y {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}}$ $\ scriptstyle {\ Delta y}$ , $Δ z {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}}$ $\ scriptstyle {\ Delta z}$ , $Δ p {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta p}}$ $\ scriptstyle {\ Delta p}$ и (снова) $Δ p {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta p}}$ $\ scriptstyle {\ Delta p}$ полностью

E 1 = Δ x + Δ y + Δ z + 2 Δ p = 0 {\ displaystyle E_ {1} = \ Delta x + \ Delta y + \ Delta z + 2 \ Delta p = 0}

E _ {{1}} = \ Delta x + \ Delta y + \ Delta z + 2 \ Delta p = 0

E 2 = Δ x Δ y + Δ y Δ z + 2 Δ z Δ p + Δ p 2 + 2 Δ п Δ x + Δ x Δ z + 2 Δ y Δ p {\ displaystyle E_ {2} = \ Delta x \ Delta y + \ Delta y \ Delta z + 2 \ Delta z \ Delta p + \ Delta p ^ {2} +2 \ Delta p \ Delta x + \ Delta x \ Delta z + 2 \ Delta y \ Delta p}

E _ {{2 }} = \ Delta x \ Delta y + \ Delta y \ Delta z + 2 \ Delta z \ Delta p + \ Delta p ^ {{2}} + 2 \ Delta p \ Delta x + \ Delta x \ Delta z + 2 \ Delta y \ Delta p

E 3 = Δ z Δ p 2 + Δ x Δ p 2 + 2 Δ x Δ y Δ p + Δ x Δ y Δ z + 2 Δ y Δ z Δ p + Δ y Δ p 2 + 2 Δ x Δ z Δ p {\ displaystyle E_ {3} = \ Delta z \ Delta p ^ {2} + \ Delta x \ Delta p ^ {2} +2 \ Delta x \ Delta y \ Delta p + \ Delta x \ Delta y \ Delta z + 2 \ Delta y \ Delta z \ Delta p + \ Delta y \ Delta p ^ {2} +2 \ Delta x \ Delta z \ Delta p}

E _ {{3}} = \ Delta z \ Delta p ^ {{2}} + \ Delta x \ Delta p ^ {{2}} + 2 \ Delta x \ Delta y \ Delta p + \ Delta x \ Delta y \ Delta z + 2 \ Delta y \ Delta z \ Delta p + \ Delta y \ Delta p ^ {{2}} + 2 \ Delta x \ Delta z \ Delta p

E 4 = Δ y Δ z Δ p 2 + Δ x Δ z Δ p 2 + Δ x Δ y Δ p 2 + 2 Δ x Δ y Δ z Δ p {\ displaystyle E_ {4} = \ Delta y \ Delta z \ Delta p ^ {2} + \ Delta x \ Delta z \ Delta p ^ {2} + \ Delta x \ Delta y \ Delta p ^ {2} +2 \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p}

E _ {{4}} = \ Delta y \ Delta z \ Delta p ^ {{2}} + \ Delta x \ Delta z \ Delta p ^ {{2}} + \ Дельта x \ Delta y \ Delta p ^ {{2}} + 2 \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p

E 5 = Δ x Δ y Δ z Δ p 2 {\ displaystyle E_ {5} = \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ D elta p ^ {2}}

E _ {{5}} = \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p ^ {{2}}

Однако можно упростить формулы для $E 2 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {2}}}$ $\ scriptstyle {E _ {{2}}}$ , $E 3 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ { 3}}}$ $\ script стиль {E _ {{3}}}$ и $E 4 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {4}}}$ $\ scriptstyle {E _ {{4}}}$ , используя тот факт, что $E 1 = 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {1} = 0}}$ $\ scriptstyle {E _ {{1}} = 0}$ . Выражая подынтегральную функцию через эти многочлены, выполняя многомерное разложение Тейлора и почленное интегрирование, как и раньше...

RJ (x, y, z, p) = 3 2 A 3 2 ∫ 0 ∞ 1 ( t + 1) 5 - (t + 1) 4 E 1 + (t + 1) 3 E 2 - (t + 1) 2 E 3 + (t + 1) E 4 - E 5 dt = 3 2 A 3 2 ∫ 0 ∞ (1 (t + 1) 5 2 - E 2 2 (t + 1) 9 2 + E 3 2 (t + 1) 11 2 + 3 E 2 2 - 4 E 4 8 (t + 1) 13 2 + 2 E 5 - 3 E 2 E 3 4 (t + 1) 15 2 + O (E 1) + O (Δ 6)) dt = 1 A 3 2 (1-3 14 E 2 + 1 6 E 3 + 9 88 E 2 2 - 3 22 E 4 - 9 52 E 2 E 3 + 3 26 E 5 + O (E 1) + O (Δ 6)) {\ displaystyle {\ begin {align} R_ {J} ( x, y, z, p) = {\ frac {3} {2A ^ {\ frac {3} {2}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ sqrt {(t + 1) ^ {5} - (t + 1) ^ {4} E_ {1} + (t + 1) ^ {3} E_ {2} - (t + 1) ^ {2} E_ {3} + (t + 1) E_ {4} -E_ {5}}}} dt \\ = {\ frac {3} {2A ^ {\ frac {3} {2}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(t + 1) ^ {\ frac {5} {2}}}} - {\ frac {E_ {2}} {2 (t +1) ^ {\ frac {9} {2}}}} + {\ frac {E_ {3}} {2 (t + 1) ^ {\ frac {11} {2}}}} + {\ frac {3E_ {2} ^ {2} -4E_ {4}} {8 (t + 1) ^ {\ frac {13} {2}}}} + {\ frac { 2E_ {5} -3E_ {2} E_ {3}} {4 (t + 1) ^ {\ frac {15} {2}}}} + O (E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6 }) \ right) dt \\ = {\ frac {1} {A ^ {\ frac {3} {2}}}} \ left (1 - {\ frac {3} {14}} E_ {2} + {\ frac {1} {6}} E_ {3} + {\ frac {9} {88}} E_ {2} ^ {2} - {\ frac {3} {22}} E_ {4} - {\ frac {9} {52}} E_ {2} E_ {3} + {\ frac {3} {26}} E_ {5} + O (E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6}) \ right) \ end {align}}}

{\ begin {align} R _ {{J}} (x, y, z, p) = {\ frac {3} {2A ^ {{{\ frac {3} {2}}}}}} \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1 } {{\ sqrt {(t + 1) ^ {{5}} - (t + 1) ^ {{4}} E _ {{1}} + (t + 1) ^ {{3}} E _ {{ 2}} - (t + 1) ^ {{2}} E _ {{3}} + (t + 1) E _ {{4}} - E _ {{5}}}}}} dt \\ = { \ frac {3} {2A ^ {{{\ frac {3} {2}}}}}} \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} \ left ({\ frac {1} {( t + 1) ^ {{{\ frac {5} {2}}}}}} - {\ frac {E _ {{2}}} {2 (t + 1) ^ {{{\ frac {9} { 2}}}}}} + {\ frac {E _ {{3}}} {2 (t + 1) ^ {{{\ frac {11} {2}}}}}} + {\ frac {3E _ {{2}} ^ {{2}} - 4E _ {{4}}} {8 (t + 1) ^ {{{\ frac { 13} {2}}}}}} + {\ frac {2E _ {{5}} - 3E _ {2}} E _ {{3}}} {4 (t + 1) ^ {{{\ frac {15 } {2}}}}}} + O (E _ {{1}}) + O (\ Delta ^ {{6}}) \ right) dt \\ = {\ frac {1} {A ^ {{ {\ frac {3} {2}}}}}} \ left (1 - {\ frac {3} {14}} E _ {{2}} + {\ frac {1} {6}} E _ {3 }} + {\ frac {9} {88}} E _ {{2}} ^ {{2}} - {\ frac {3} {22}} E _ {{4}} - {\ frac {9} { 52}} E _ {{2}} E _ {{3}} + {\ frac {3} {26}} E _ {{5}} + O (E _ {{1}}) + O (\ Delta ^ {{ 6}}) \ right) \ end {align}}

Как и в случае с $RJ {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}}$ $\ scriptstyle {R _ {{J}}}$ , путем раскрытия среднего значения аргументов, больше более половины терминов (те, которые включают $E 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {1}}}$ $\ scriptstyle {E_ { {1}}}$ ) удаляются.

Отрицательные аргументы

В общем случае аргументы x, y, z интегралов Карлсона могут быть не действительными или отрицательными, так как это приведет к возникновению точки ветвления на пути интеграции, что делает интеграл неоднозначным. Однако, если второй аргумент $RC {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {C}}}$ $\ scriptstyle {R_ {C}}$ или четвертый аргумент p из $RJ {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ { J}}}$ $\ scriptstyle {R_ {J}}$ отрицательно, тогда получается простой полюс на пути интегрирования. В этих случаях может представлять интерес главное значение Коши (конечная часть) интегралов; это

п. v. RC (x, - y) = xx + y RC (x + y, y), {\ displaystyle \ mathrm {pv} \; R_ {C} (x, -y) = {\ sqrt {\ frac {x} {x + y}}} \, R_ {C} (x + y, y),}

{\ mathrm {pv}} \; R_ {C} (x, -y) = { \ sqrt {{\ frac {x} {x + y}}}} \, R_ {C} (x + y, y),

стр. v. RJ (x, y, z, - p) = (q - y) RJ (x, y, z, q) - 3 RF (x, y, z) + 3 y RC (xz, - pq) y + p знак равно (q - y) RJ (x, y, z, q) - 3 RF (x, y, z) + 3 xyzxz + pq RC (xz + pq, pq) y + p {\ displaystyle {\ begin {выровнено } \ mathrm {pv} \; R_ {J} (x, y, z, -p) = {\ frac {(qy) R_ {J} (x, y, z, q) -3R_ {F} ( x, y, z) +3 {\ sqrt {y}} R_ {C} (xz, -pq)} {y + p}} \\ = {\ frac {(qy) R_ {J} (x, y, z, q) -3R_ {F} (x, y, z) +3 {\ sqrt {\ frac {xyz} {xz + pq}}} R_ {C} (xz + pq, pq)} {y + p}} \ end {align}}}

{\ begin {align} {\ mathrm {pv}} \; R _ {{J}} (x, y, z, -p) = {\ frac {(qy) R _ {{J}} (x, y, z, q) -3R _ {{F}} (x, y, z) +3 {\ sqrt {y}} R _ {{C}} (xz, -pq)} {y + p}} \ \ = {\ frac {(qy) R _ {{J}} (x, y, z, q) -3R _ {{F}} (x, y, z) +3 {\ sqrt {{\ frac {xyz } {xz + pq}}}} R _ {{C}} (xz + pq, pq)} {y + p}} \ end {align}}

где

q = y + (z - y) (y - x) y + p. {\ displaystyle q = y + {\ frac {(zy) (yx)} {y + p}}.}

q = y + {\ frac {(zy) (yx) } {y + p}}.

который должен быть больше нуля для $RJ (x, y, z, q) {\ displaystyle \ scriptstyle {R_ {J} (x, y, z, q)}}$ $\ scriptstyle {R _ {{J}} (x, y, z, q)}$ для оценки. Это можно организовать, переставив x, y и z так, чтобы значение y находилось между значениями x и z.

Числовое вычисление

Теорема дублирования может использоваться для быстрого и надежного вычисления симметричной формы Карлсона эллиптических интегралов и, следовательно, также для вычисления эллиптических интегралов в форме Лежандра. Вычислим $RF (x, y, z) {\ displaystyle R_ {F} (x, y, z)}$ $R_ {F} (x, y, z)$ : сначала определим $x 0 = x {\ displaystyle x_ {0} = x}$ $x_ {0} = x$ , $y 0 = y {\ displaystyle y_ {0} = y}$ $y_ {0} = y$ и $z 0 = z {\ displaystyle z_ {0} = z}$ $z_ {0} = z$ . Затем повторите ряд

λ n = xnyn + ynzn + znxn, {\ displaystyle \ lambda _ {n} = {\ sqrt {x_ {n}}} {\ sqrt {y_ {n}}} + {\ sqrt {y_ {n}}} {\ sqrt {z_ {n}}} + {\ sqrt {z_ {n}}} {\ sqrt {x_ {n}}},}

{\ displaystyle \ lambda _ {n} = {\ sqrt {x_ {n}}} {\ sqrt {y_ {n}}} + {\ sqrt {y_ {n}}} {\ sqrt {z_ {n}}} + {\ sqrt {z_ {n}}} {\ sqrt {x_ {n}}}, }

xn + 1 = xn + λ n 4, yn + 1 знак равно yn + λ N 4, zn + 1 = zn + λ n 4 {\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n} + \ lambda _ {n}} {4 }}, y_ {n + 1} = {\ frac {y_ {n} + \ lambda _ {n}} {4}}, z_ {n + 1} = {\ frac {z_ {n} + \ lambda _ {n}} {4}}}

x _ {{n + 1}} = {\ frac {x_ {n} + \ lambda _ {n}} {4}}, y _ {{n + 1} } = {\ frac {y_ {n} + \ lambda _ {n}} {4}}, z _ {{n + 1}} = {\ frac {z_ {n} + \ lambda _ {n}} {4 }}

до достижения желаемой точности: if $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $y {\ displaystyle y}$ $y$ и $z { \ displaystyle z}$ $z$ неотрицательны, весь ряд быстро сходится к заданному значению, например, $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Следовательно,

R F (x, y, z) = R F (μ, μ, μ) = μ - 1/2. {\ Displaystyle R_ {F} \ left (x, y, z \ right) = R_ {F} \ left (\ mu, \ mu, \ mu \ right) = \ mu ^ {- 1/2}.}

R_ {F} \ left (x, y, z \ right) = R_ {F} \ left (\ mu, \ mu, \ mu \ right) = \ mu ^ {{- 1/2}}.

Вычисление $RC (x, y) {\ displaystyle R_ {C} (x, y)}$ $R_ {C} (x, y)$ во многом аналогично из-за отношения

RC (x, y) = RF (х, у, у). {\ displaystyle R_ {C} \ left (x, y \ right) = R_ {F} \ left (x, y, y \ right).}

R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).

Ссылки и внешние ссылки

^Карлсон, Билль С. ( 1994). «Численное вычисление действительных или комплексных эллиптических интегралов». arXiv : math / 9409227v1.

B. К. Карлсон, Джон Л. Густафсон «Асимптотические приближения для симметричных эллиптических интегралов» 1993 arXiv
B. К. Карлсон «Численное вычисление действительных или комплексных эллиптических интегралов» 1994 arXiv
Б. К. Карлсон «Эллиптические интегралы: симметричные интегралы» в гл. 19 Электронной библиотеки математических функций. Дата выпуска 07.05.2010. Национальный институт стандартов и технологий.
«Профиль: Билле К. Карлсон» в цифровой библиотеке математических функций. Национальный институт стандартов и технологий.
Press, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби», Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Код Fortran из SLATEC для оценки RF, RJ, RC, RD,