Поправка Бонферрони

редактировать

Статистический метод, используемый для корректировки множественных сравнений

В статистике, Поправка Бонферрони - один из нескольких методов, используемых для решения проблемы множественных сравнений.

Содержание

1 Предпосылки
2 Определение
3 Расширения
- 3.1 Обобщение
- 3.2 Доверие интервалы
- 3.3 Непрерывные проблемы
4 Альтернативы
5 Критика
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Предпосылки

Итальянский математик Карло Эмилио Бонферрони разработал поправку на множественные сравнения для ее использования в неравенствах Бонферрони. Расширение метода до доверительных интервалов было предложено Олив Джин Данн.

Статистическая проверка гипотез основана на отклонении нулевой гипотезы, если вероятность наблюдаемых данных при нулевых гипотезах мало. Если проверяются несколько гипотез, вероятность наблюдения редкого события увеличивается, и, следовательно, вероятность неправильного отклонения нулевой гипотезы (т. Е. Создания ошибки типа I ) увеличивается.

Поправка Бонферрони компенсирует это увеличение, проверяя каждую отдельную гипотезу на уровне значимости $α / m {\ displaystyle \ alpha / m}$ $\ alpha / m$ , где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - желаемый общий альфа-уровень, а $m {\ displaystyle m}$ $m$ - количество гипотез. Например, если испытание проверяет $m = 20 {\ displaystyle m = 20}$ $m = 20$ гипотез с желаемым $α = 0,05 {\ displaystyle \ alpha = 0,05}$ $\ alpha = 0,05$ , то поправка Бонферрони будет проверять каждую отдельную гипотезу при $α = 0,05 / 20 = 0,0025 {\ displaystyle \ alpha = 0,05 / 20 = 0,0025}$ ${\ displaystyle \ alpha = 0.05 / 20 = 0.0025}$ . Точно так же при построении нескольких доверительных интервалов возникает одно и то же явление.

Определение

Пусть $H 1,…, H m {\ displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {m}}$ ${\ displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {m}}$ будет семейством гипотезы и $p 1,…, pm {\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {m}}$ ${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ { m}}$ их соответствующие p-значения. Пусть $m {\ displaystyle m}$ $m$ будет общим числом нулевых гипотез, а $m 0 {\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ числом истинных нулевых гипотез. Коэффициент ошибок на уровне семьи (FWER) - это вероятность отклонения хотя бы одного истинного $H i {\ displaystyle H_ {i}}$ $H _ {{i}}$ , то есть выполнения хотя бы одного ошибка I типа. Поправка Бонферрони отклоняет нулевую гипотезу для каждого $pi ≤ α m {\ displaystyle p_ {i} \ leq {\ frac {\ alpha} {m}}}$ ${\ displaystyle p_ {i} \ leq {\ frac {\ alpha} {m}}}$ , тем самым контролируя FWER при $≤ α {\ displaystyle \ leq \ alpha}$ ${\ displaystyle \ leq \ alpha}$ . Доказательство этого контроля следует из неравенства Буля следующим образом:

FWER = P {⋃ i = 1 m 0 (pi ≤ α m)} ≤ ∑ i = 1 m 0 {P (pi ≤ α m)} = m 0 α m ≤ m α m = α. {\ displaystyle {\ text {FWER}} = P \ left \ {\ bigcup _ {i = 1} ^ {m_ {0}} \ left (p_ {i} \ leq {\ frac {\ alpha} {m}) } \ right) \ right \} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {m_ {0}} \ left \ {P \ left (p_ {i} \ leq {\ frac {\ alpha} {m}}) \ right) \ right \} = m_ {0} {\ frac {\ alpha} {m}} \ leq m {\ frac {\ alpha} {m}} = \ alpha.}

{\ displaystyle {\ text {FWER}} = P \ left \ {\ bigcup _ {i = 1} ^ {m_ {0}} \ left (p_ {i} \ leq { \ frac {\ alpha} {m}} \ right) \ right \} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {m_ {0}} \ left \ {P \ left (p_ {i} \ leq {\ frac {\ alpha} {m}} \ right) \ right \} = m_ {0} {\ frac {\ alpha} {m}} \ leq m {\ frac {\ alpha} {m}} = \ alpha. }

Этот элемент управления не требует любые предположения о зависимости между p-значениями или о том, сколько нулевых гипотез верны.

Расширения

Обобщение

Вместо проверки каждой гипотезы на $α / m {\ displaystyle \ alpha / m}$ $\ alpha / m$ уровень, гипотезы могут быть проверены на любой другой комбинации уровней, которая в сумме дает $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ при условии, что уровень каждого теста определяется до просмотра данных. Например, для двух проверок гипотез общее $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ можно поддерживать на уровне 0,05, если провести один тест при 0,04, а другой - 0,01.

Доверительные интервалы

Процедура, предложенная Данном (не путать с методом рангового дисперсионного анализа), может использоваться для корректировки доверительных интервалов. Если устанавливается $m {\ displaystyle m}$ $m$ доверительные интервалы и желает иметь общий уровень достоверности $1 - α {\ displaystyle 1- \ alpha}$ $1- \ alpha$ , каждый индивидуальный доверительный интервал можно настроить на уровень $1 - α m {\ displaystyle 1 - {\ frac {\ alpha} {m}}}$ $1 - {\ frac {\ alpha} {m}}$ .

Непрерывные проблемы

При поиске сигнал в непрерывном пространстве параметров также может быть проблемой множественных сравнений или эффекта поиска в другом месте. Например, физик может стремиться открыть частицу неизвестной массы, рассматривая широкий диапазон масс; Так было во время обнаружения бозона Хиггса, получившего Нобелевскую премию. В таких случаях можно применить непрерывное обобщение поправки Бонферрони, применив байесовскую логику, чтобы связать эффективное количество испытаний, $m {\ displaystyle m}$ $m$ , с отношение объема до и после операции.

Альтернативы

Существуют альтернативные способы управления частотой ошибок в семье. Например, метод Холма – Бонферрони и поправка Шидака повсеместно являются более мощными процедурами, чем поправка Бонферрони, а это означает, что они всегда по крайней мере столь же эффективны. В отличие от процедуры Бонферрони, эти методы не контролируют ожидаемое количество ошибок типа I для каждого семейства (частота ошибок типа I для каждого семейства).

Критика

Что касается контроля FWER, поправка Бонферрони может быть консервативной, если имеется большое количество тестов и / или статистика теста положительно коррелирована.

Коррекция происходит за счет увеличения вероятность получения ложноотрицательных результатов, т. е. уменьшения статистической мощности. Не существует окончательного консенсуса относительно того, как определять семейство во всех случаях, и скорректированные результаты тестов могут варьироваться в зависимости от количества тестов, включенных в семейство гипотез. Такая критика относится к контролю FWER в целом и не относится к исправлению Бонферрони.

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки