Уравнение баланса

редактировать

В теории вероятностей уравнение баланса представляет собой уравнение, который описывает поток вероятностей, связанный с цепью Маркова в состояниях и выходах из них или набором состояний.

Содержание

1 Глобальный баланс
2 Подробный баланс
3 Локальный баланс
4 Примечания

Глобальный баланс

Уравнения глобального баланса (также известные как уравнения полного баланса ) представляют собой набор уравнений, которые характеризуют равновесное распределение (или любое стационарное распределение) цепи Маркова, когда такое распределение существует.

Для цепи Маркова с непрерывным временем с пространством состояний $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ , скорость перехода из состояния $i {\ displaystyle i}$ $я$ to $j {\ displaystyle j}$ $j$ , задаваемый $qij {\ displaystyle q_ {ij}}$ $q_ {ij}$ и равновесие распределение задается как $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , уравнения глобального баланса задаются как

π i = ∑ j ∈ S π jqji, {\ displaystyle \ pi _ {i} = \ sum _ {j \ in S} \ pi _ {j} q_ {ji},}

{\ displaystyle \ pi _ {i} = \ sum _ {j \ in S} \ pi _ {j} q_ {ji},}

или эквивалентно

π i ∑ j ∈ S ∖ {i} qij = ∑ j ∈ S ∖ {i} π jqji. {\ displaystyle \ pi _ {i} \ sum _ {j \ in S \ setminus \ {i \}} q_ {ij} = \ sum _ {j \ in S \ setminus \ {i \}} \ pi _ { j} q_ {ji}.}

{\ displaystyle \ pi _ {i} \ sum _ {j \ in S \ setminus \ {i \} } q_ {ij} = \ sum _ {j \ in S \ setminus \ {i \}} \ pi _ {j} q_ {ji}.}

для всех $i ∈ S {\ displaystyle i \ in S}$ $я \ в S$ . Здесь $π iqij {\ displaystyle \ pi _ {i} q_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {i} q_ {ij}}$ представляет поток вероятности из состояния $i {\ displaystyle i}$ $я$ в состояние $j {\ displaystyle j}$ $j$ . Таким образом, левая часть представляет собой общий поток из состояния i в состояния, отличные от i, а правая часть представляет собой общий поток из всех состояний $j ≠ i {\ displaystyle j \ neq i}$ $j \ neq i$ в состояние $i {\ displaystyle i}$ $я$ . В общем, решение этой системы уравнений для большинства моделей массового обслуживания сложно вычислительно.

Детальный баланс

Для цепи Маркова с непрерывным временем (CTMC) с матрица скорости перехода $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ , если $π i {\ displaystyle \ pi _ {i}}$ $\ pi _ {i}$ можно найти так, что для каждая пара состояний $i {\ displaystyle i}$ $я$ и $j {\ displaystyle j}$ $j$

π iqij = π jqji {\ displaystyle \ pi _ {i} q_ {ij} = \ pi _ {j} q_ {ji}}

{\ displaystyle \ pi _ {i} q_ {ij} = \ pi _ {j} q_ {ji}}

выполняется, то при суммировании по $j {\ displaystyle j}$ $j$ уравнения глобального баланса удовлетворяются и $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ - стационарное распределение процесса. Если такое решение может быть найдено, результирующие уравнения обычно намного проще, чем прямое решение уравнений глобального баланса.

CTMC является обратимым тогда и только тогда, когда подробные условия баланса выполняются для каждой пары состояний $i {\ displaystyle i}$ $я$ и $j {\ displaystyle j}$ $j$ .

A цепи Маркова с дискретным временем (DTMC) с матрицей перехода $P {\ displaystyle P}$ $P$ и равновесное распределение $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ считается сбалансированным, если для всех пар $i {\ displaystyle i}$ $я$ и $j {\ displaystyle j}$ $j$ ,

π ipij = π jpji. {\ displaystyle \ pi _ {i} p_ {ij} = \ pi _ {j} p_ {ji}.}

{\ displaystyle \ pi _ {i} p_ {ij} = \ pi _ {j} p_ {ji}.}

Когда решение может быть найдено, как в случае CTMC, вычисления обычно выполняются намного быстрее. чем напрямую решать уравнения глобального баланса.

Локальный баланс

В некоторых ситуациях члены с обеих сторон уравнений глобального баланса отменяются. Уравнения глобального баланса затем могут быть разделены для получения набора уравнений локального баланса (также известных как уравнения частичного баланса, независимых уравнений баланса или отдельных уравнения баланса ). Эти уравнения баланса впервые были рассмотрены Питером Уиттлом. Полученные уравнения находятся где-то между подробным балансом и уравнениями глобального баланса. Любое решение $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ уравнений локального баланса всегда является решением уравнений глобального баланса (мы можем восстановить уравнения глобального баланса, суммируя соответствующие уравнения локального баланса), но обратное не всегда верно. Часто построение уравнений локального баланса эквивалентно удалению внешних суммирований в уравнениях глобального баланса для определенных членов.

В 1980-х годах считалось, что локальный баланс является требованием для равновесного распределения формы продукта, но модель G-network Геленбе показала, что это не так.

Примечания