Гипотеза Атьи

редактировать

В Математике гипотеза Атьи является собирательный термин для ряда утверждений об ограничениях на возможные значения $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -числа Бетти.

История

В 1976, Майкл Атия представил $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ ${\ displaystyle l ^ {2}}$ -когомологию многообразий со свободным ко-компактное действие дискретной счетной группы (например, универсальное покрытие компактного многообразия вместе с действием фундаментальной группы посредством преобразований колоды.) Атья также определил $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -числа Бетти в результате $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -группы когомологий и вычислил несколько примеров, которые все оказались рациональными числами. Поэтому он спросил, могут ли $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -числа Бетти быть иррациональными.

. С тех пор различные исследователи задавали более тонкие вопросы о возможные значения $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -числа Бетти, все из которых обычно называют «гипотезой Атьи».

Результаты

Многие положительные результаты были подтверждены. Например, если действующая группа является свободной группой, то числа $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -Betti являются целыми числами.

Самый общий вопрос, открытый по состоянию на конец 2011 года, заключается в том, являются ли $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -числа Бетти рациональными, если есть ограничения на заказы конечных подгрупп действующей группы. Фактически, предполагаются точные отношения между возможными знаменателями и рассматриваемыми порядками; в случае групп без кручения это утверждение обобщает гипотезу о делителях нуля. Обсуждение см. В статье Б. Экманна.

В случае отсутствия такой границы в 2009 году было показано, что $l 2 {\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ 2$ -числа Бетти могут принимать трансцендентные значения. Позже было показано, что в этом случае это могут быть любые неотрицательные действительные числа.

Ссылки

Атия, М. Ф. (1976). «Эллиптические операторы, дискретные группы и алгебры фон Неймана». Коллоквиум "Анализ и топология" на почетном звании Анри Картана (Орсе, 1974). Париж: Soc. Математика. Франция. С. 43–72. Astérisque, № 32–33.

Тим Остин (2009-09-12). «Рациональные групповые кольцевые элементы с ядрами иррациональной размерности». arXiv : 0909.2360.

Экманн, Бено (2000). «Введение в l_2-методы в топологии: приведенные l_2-гомологии, гармонические цепи, l_2-числа Бетти». Israel J. Math. 117 . стр. 183–219.