Коды AN

Коды AN- это код исправления ошибок, который используется в арифметических приложениях. Арифметические коды обычно использовались в компьютерных процессорах, чтобы гарантировать точность его арифметических операций, когда электроника была более ненадежной. Арифметические коды помогают процессору обнаружить ошибку и исправить ее. Без этих кодов процессоры были бы ненадежными, так как любые ошибки остались бы незамеченными. Коды AN - это арифметические коды, названные в честь целых чисел $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$, которые используются для кодирования и декодирования кодовые слова.

Эти коды отличаются от большинства других кодов тем, что они используют арифметический вес для максимизации арифметического расстояния между кодовыми словами, в отличие от веса Хэмминга и расстояния Хэмминга. Арифметическое расстояние между двумя словами - это мера количества ошибок, допущенных при вычислении арифметической операции. Использование арифметического расстояния необходимо, поскольку одна ошибка в арифметической операции может вызвать большое расстояние Хэмминга между полученным ответом и правильным ответом.

• 1 Арифметический вес и расстояние
• 2 Коды AN
• 3 Коды Мандельбаума-Барроуза
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Арифметический вес целого числа $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в базе $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$определяется как

$w\; (x)\; =\; min\; \{t\; |\; Икс\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; tairn\; (я)\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; ш\; (х)\; =\; \backslash \; мин\; \backslash \; \{т\; |\; х\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{т\}\; а\_\; \{я\}\; г\; ^\; \{п\; (я)\; \}\; \backslash \}\}$

где $|\; а\; я\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{a\_\; \{i\}\}\; |\}$< $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, $n\; (i)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (i)\; \backslash \; geq\; 0\}$и $р,\; N\; (я)\; \in \; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; г,\; n\; (я)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$. Арифметическое расстояние слова ограничено сверху его весом Хэмминга, поскольку любое целое число может быть представлено стандартной полиномиальной формой $x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nbiri\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\; n\}\; b\_\; \{i\}\; r\; ^\; \{i\}\}$где $bi\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\}$- это цифры целого числа. Удаление всех терминов, где $bi\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\; =\; 0\}$, будет имитировать $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, равный его весу.. Арифметический вес обычно будет меньше веса Хэмминга, поскольку $a\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$может быть отрицательным. Например, целое число $x\; =\; 29\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 29\}$, которое равно $11101\; \{\backslash \; displaystyle\; 11101\}$в двоичном формате, имеет вес Хэмминга $4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\}$. Это быстрый верхний предел арифметического веса, поскольку $x\; =\; 2\; 0\; +\; 2\; 2\; +\; 2\; 3\; +\; 2\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 2\; ^\; \{0\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{3\}\; +\; 2\; ^\; \{4\}\}$. Однако, поскольку $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$может быть отрицательным, мы можем написать $x\; =\; 2\; 5\; -\; 2\; 1\; -\; 2\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 2\; ^\; \{\; 5\}\; -2\; ^\; \{1\}\; -2\; ^\; \{0\}\}$, что делает арифметический вес равным $3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$.

Арифметическое расстояние между двумя целыми числами определяется как

$d\; (x,\; y)\; =\; w\; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; w\; (xy)\}$

Это одна из основных метрик, используемых при анализе арифметических кодов.

Коды AN определяются целыми числами $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и используются для кодирования целых чисел от $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$до $B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; B-1\}$таких, что

$C\; =\; \{AN\; |\; N\; \in \; Z,\; 0\; \le \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; \{AN\; |\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 0\; \backslash \; leq\; N\}$<$B\}\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \}\}$

Каждый выбор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$приведет к другому коду, а $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$служит ограничивающим фактором для обеспечения полезных свойств на расстоянии код. Если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$слишком велик, он может пропустить кодовое слово с очень маленьким арифметическим весом в код, что приведет к уменьшению расстояния всего кода. Чтобы использовать эти коды, перед выполнением арифметической операции с двумя целыми числами каждое целое число умножается на $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Пусть результатом операции над кодовыми словами будет $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Обратите внимание, что $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$также должно находиться в диапазоне от $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$до $B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; B-1\}.$для правильного декодирования. Для декодирования просто разделите $R\; /\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; A\}$. Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$не является фактором $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, то произошла по крайней мере одна ошибка, и наиболее вероятное решение будет - кодовое слово с наименьшим арифметическим расстоянием от $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Как и в случае с кодами, использующими расстояние Хэмминга, коды AN могут исправить до $\lfloor \; d\; -\; 1\; 2\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{d-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; rfloor\}$ошибок, где $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- расстояние кода.

Например, код AN с $A\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 3\}$, операция добавления $15\; \{\backslash \; displaystyle\; 15\}$и $16\; \{\backslash \; displaystyle\; 16\}$начнутся с кодирования обоих операндов. Это приводит к операции $R\; =\; 45\; +\; 48\; =\; 93\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; 45\; +\; 48\; =\; 93\}$. Затем, чтобы найти решение, мы делим $93/3\; =\; 31\; \{\backslash \; displaystyle\; 93/3\; =\; 31\}$. Пока $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$>$31\; \{\backslash \; displaystyle\; 31\}$, это будет возможная операция в рамках кода. Предположим, что ошибка возникает в каждом двоичном представлении операндов, так что $45\; =\; 101101\; \to \; 101111\; \{\backslash \; displaystyle\; 45\; =\; 101101\; \backslash \; rightarrow\; 101111\}$и $48\; =\; 110000\; \to \; 110001\; \{\backslash \; displaystyle\; 48\; =\; 110000\; \backslash \; rightarrow\; 110001\}$, затем $R\; =\; 101111\; +\; 110001\; =\; 1100000\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; 101111\; +\; 110001\; =\; 1100000\}$. Обратите внимание, что, поскольку $93\; =\; 1011101\; \{\backslash \; displaystyle\; 93\; =\; 1011101\}$, вес Хэмминга между полученным словом и правильным решением равен $5\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\}$после $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$ошибок. Чтобы вычислить арифметический вес, возьмем $1100000\; -\; 1011101\; =\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; 1100000-1011101\; =\; 11\}$, который можно представить как $11\; =\; 2\; 0\; +\; 2\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 11\; =\; 2\; ^\; \{0\}\; +\; 2\; ^\; \{1\}\}$или $11\; =\; 2\; 2–2\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 11\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; -2\; ^\; \{0\}\}$. В любом случае арифметическое расстояние равно $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$, как и ожидалось, поскольку это количество допущенных ошибок. Чтобы исправить эту ошибку, будет использоваться алгоритм для вычисления ближайшего кодового слова к принятому слову с точки зрения арифметического расстояния. Подробно описывать алгоритмы не будем.

Чтобы гарантировать, что расстояние кода не будет слишком маленьким, мы определим модульные коды AN. Модульный код AN $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$является подгруппой $Z\; /\; m\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; m\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, где $m\; =\; AB\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; AB\}$. Коды измеряются в единицах модульного расстояния, которое определяется в терминах графа с вершинами, являющимися элементами $Z\; /\; m\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; m\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$. Две вершины $x\; (mod\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \{\backslash \; pmod\; \{m\}\}\}$и $x\; \prime \; (mod\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}\{\backslash \; pmod\; \{m\}\}\; \}$связаны, если и только если

$x\; -\; x\; \prime \; \equiv \; \pm \; c\; \cdot \; rj\; (mod\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; x-x\; \text{'}\backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; c\; \backslash \; cdot\; r\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; pmod\; \{m\; \}\}\}$

где $c,\; j\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; c,\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$и $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$<$c\; \{\; \backslash \; displaystyle\; c\}$<$r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, $j\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; geq\; 0\}$. Тогда модульное расстояние между двумя словами - это длина кратчайшего пути между их узлами в графе. Модульный вес слова - это его расстояние от $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$, которое равно

$w\; m\; (x)\; =\; m\; i\; n\; \{w\; (y)\; |\; y\; \in \; Z,\; y\; \equiv \; x\; (mod\; m)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{m\}\; (x)\; =\; min\; \backslash \; \{w\; (y)\; |\; y\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; y\; \backslash \; Equiv\; x\; \{\backslash \; pmod\; \{m\}\; \}\; \backslash \}\}$

На практике значение $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$обычно выбирается так, чтобы $m\; =\; rn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; r\; ^\; \{n\; \}\; -1\}$, так как большая часть компьютерной арифметики вычисляется $mod\; 2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mod\; 2\; ^\; \{n\}\; -1\}$, поэтому нет дополнительной потери данные из-за того, что код выходит за пределы, так как компьютер также будет за пределами. Выбор $m\; =\; r\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; r\; ^\; \{n\}\; -1\}$также приводит к кодам с большим расстоянием, чем другие коды.

При использовании модульного веса с $m\; =\; rn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; r\; ^\; \{n\}\; -1\}$, коды AN будут циклическим кодом.

определение: Циклический код AN - это код $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, который является подгруппой $[rn\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [r\; ^\; \{n\; \}\; -1]\}$, где $[rn\; -\; 1]\; =\; \{0,\; 1,\; 2,\dots ,\; rn\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; [r\; ^\; \{n\}\; -1]\; =\; \backslash \; \{\; 0,1,2,\; \backslash \; dots,\; r\; ^\; \{n\}\; -1\; \backslash \}\}$.

Циклический код AN является главным идеалом кольца $[rn\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [r\; ^\; \{n\}\; -1]\}$. Есть целые числа $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, где $AB\; =\; rn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; =\; r\; ^\; \{n\}\; -1\}$и $A,\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A,\; B\}$удовлетворяют определению кода AN. Циклические коды AN представляют собой подмножество циклических кодов и обладают теми же свойствами.

Коды Мандельбаума-Барроуза представляют собой тип циклических кодов AN, введенных Д. Мандельбаумом и Дж. Т. Барроузом. Эти коды создаются путем выбора $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$в качестве простого числа, которое не делит $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$таким образом, чтобы $Z\; /\; BZ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; B\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$генерируется как $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и $-\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; -1\}$и $m\; =\; rn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; r\; ^\; \{n\}\; -1\}$. Пусть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$будет положительным целым числом, где $rn\; \equiv \; 1\; (mod\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{B\}\}\}$и $A\; =\; (rn\; -\; 1)\; /\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; (r\; ^\; \{n\}\; -1)\; /\; B\}$. Например, при выборе $r\; =\; 2,\; B\; =\; 5,\; n\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2,\; B\; =\; 5,\; n\; =\; 4\}$и $A\; =\; (rn\; -\; 1\; )\; /\; B\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; (r\; ^\; \{n\}\; -1)\; /\; B\; =\; 3\}$результатом будет код Мандельбаума-Барроуза, такой что $C\; =\; \{3\; N\; |\; N\; \in \; Z,\; 0\; \le \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; \{3N\; |\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 0\; \backslash \; leq\; N\}$<$5\}\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; \backslash \}\}$в базе $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$.

Чтобы проанализировать расстояние кодов Мандельбаума-Барроуза, нам понадобится следующая теорема.

теорема: Пусть $C\; \subset \; [rn\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \backslash \; subset\; [r\; ^\; \{n\}\; -1]\}$будет циклическим кодом AN с генератором $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и

$B\; =\; |\; C\; |\; =\; (rn\; -\; 1)\; /\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; |\; C\; |\; =\; (r\; ^\; \{n\}\; -1)\; /\; A\}$

Тогда

$\sum \; x\; \in \; C\; wm\; (x)\; =\; n\; (\lfloor \; r\; В\; р\; +\; 1\; \rfloor \; -\; \lfloor \; В\; р\; +\; 1\; \rfloor )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; C\}\; w\_\; \{m\}\; (x)\; =\; n\; (\backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{rB\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor\; -\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor)\}$

доказательство: Предположим, что каждый $x\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; C\}$имеет уникальное циклическое представление NAF, которое является

$x\; \equiv \; \sum \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; ci,\; xri\; (mod\; rn\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; c\_\; \{i,\; x\}\; r\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; pmod\; \{r\; ^\; \{n\}\; -1\}\}\}$

Мы определяем $n\; \times \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; B\; \}$матрица с элементами $ci,\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i,\; x\}\}$где $0\; \le \; i\; \le \; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; Leq\; n-1\}$и $x\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; C\}$. Эта матрица по существу представляет собой список всех кодовых слов в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, где каждый столбец является кодовым словом. Поскольку $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$является циклическим, каждый столбец матрицы имеет одинаковое количество нулей. Теперь мы должны вычислить $n\; |\; \{x\; \in \; C\; |\; c\; n\; -\; 1,\; x\; \ne \; 0\}\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; |\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; C\; |\; c\_\; \{n-1,\; x\}\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \}\; |\}$, то есть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$умноженное на количество кодовых слов, которые не заканчиваются на $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$. Как свойство нахождения в циклической NAF, $cn\; -\; 1,\; x\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n-1,\; x\}\; \backslash \; neq\; 0\}$, если существует $y\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$с $y\; \equiv \; x\; (mod\; rn\; -\; 1),\; mr\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; Equiv\; x\; \{\backslash \; pmod\; \{r\; ^\; \{n\; \}\; -1\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{r\; +\; 1\}\}\}$<$y\; \le \; mrr\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{mr\}\; \{r\; +\; 1\}\}\}$. Поскольку $x\; =\; AN\; (mod\; rn\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; AN\; \{\backslash \; pmod\; \{r\; ^\; \{n\}\; -1\}\}\}$с $0\; \le \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; Leq\; N\}$<$B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, затем $B\; r\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{r\; +\; 1\}\}\}$<$N\; \le \; B\; rr\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{Br\}\; \{r\; +\; 1\}\}\}$. Тогда количество целых чисел, последний бит которых равен нулю, равно $\lfloor \; r\; B\; r\; +\; 1\; \rfloor \; -\; \lfloor \; B\; r\; +\; 1\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{rB\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor\; -\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor\}$. Умножение этого на символы $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$в кодовых словах дает нам сумму весов кодовых слов $n\; (\lfloor \; r\; B\; r\; +\; 1\; \rfloor \; -\; \lfloor \; B\; r\; +\; 1\; \rfloor )\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; (\backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{rB\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor\; -\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor)\}$по желанию.

Теперь мы воспользуемся предыдущей теоремой, чтобы показать, что коды Мандельбаума-Барроуза эквидистантны (что означает, что каждая пара кодовых слов имеет одинаковое расстояние) с расстоянием

$n\; B\; -\; 1\; (\lfloor \; р\; В\; р\; +\; 1\; \rfloor \; -\; \lfloor \; В\; р\; +\; 1\; \rfloor )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{B-1\}\}\; (\backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{rB\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor\; -\; \backslash \; lfloor\; \{\; \backslash \; frac\; \{B\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; rfloor)\}$

доказательство: Пусть $x\; \in \; C,\; x\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; C,\; x\; \backslash \; neq\; 0\}$, затем $x\; =\; AN\; (mod\; rn\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; AN\; \{\backslash \; pmod\; \{r\; ^\; \{n\}\; -1\}\}\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$не делится на $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$. Это означает, что существует $\exists \; j\; (N\; \equiv \; \pm \; rj\; (mod\; B))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; j\; (N\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; r\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; pmod\; \{B\}\})\}$. Тогда $wm\; (x)\; =\; wm\; (\pm \; rj\; A)\; =\; wm\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{m\}\; (x)\; =\; w\_\; \{m\}\; (\backslash \; pm\; r\; ^\; \{j\}\; A)\; =\; w\_\; \{m\}\; (А)\}$. Это доказывает, что $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$равноудалено, поскольку все кодовые слова имеют тот же вес, что и $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Поскольку все кодовые слова имеют одинаковый вес, а по предыдущей теореме мы знаем общий вес всех кодовых слов, расстояние кода находится путем деления общего веса на количество кодовых слов (исключая 0).

• Обнаружение и исправление ошибок
• Прямое исправление ошибок