Проблема Уоринга – Гольдбаха

The Задача Варинга – Гольдбаха - это проблема в аддитивной теории чисел, касающаяся представления целых чисел в виде сумм степеней простые числа. Он назван как комбинация проблемы Варинга о суммах степеней целых чисел и гипотезы Гольдбаха о суммах простых чисел. Он был инициирован Хуа Луогэном в 1938 году.

• 1 Описание проблемы
• 2 Эвристическое обоснование
• 3 Соответствующие результаты
• 4 Ссылки

Он спрашивает, могут ли большие числа быть выражены как сумма с максимально постоянным числом членов одинаковой степени простых чисел. То есть для любого заданного натурального числа k верно ли, что для достаточно большого целого N обязательно существует набор простых чисел, {p 1, p 2,..., p t }, такое, что N = p 1 + p 2 +... + p t, где t равно какое-то постоянное значение?

Случай k = 1 является более слабой версией гипотезы Гольдбаха. Некоторый прогресс был достигнут в случаях k = 2-7.

Согласно теореме о простых числах, количество k-й степени простого числа ниже x имеет порядок x / log x. Отсюда количество t-членных выражений с суммами ≤x примерно равно x / (log x). Разумно предположить, что для некоторого достаточно большого числа t это x-c, то есть все числа до x являются t-кратными суммами k-й степени простых чисел. Этот аргумент, конечно, далек от строгого доказательства.

В своей монографии, используя и уточняя методы Харди, Литтлвуда и Виноградов, Хуа Луогэн получил O (klog k) верхняя граница количества членов, необходимых для отображения всех достаточно больших чисел в виде суммы k-х степеней простых чисел.

Каждое достаточно большое нечетное целое число является суммой 21 пятой степени простых чисел.

1. ^L. К. Хуа: Некоторые результаты в аддитивной теории простых чисел, Quart. J. Math. Оксфорд, 9 (1938), 68–80.
2. ^Батткейн, Джек (январь 2010 г.). «Заметка по проблеме Варинга – Гольдбаха». Журнал теории чисел. Эльзевир. 130 (1): 116–127. doi : 10.1016 / j.jnt.2009.07.006.
3. ^Хуа Ло Кенг: Аддитивная теория простых чисел, Переводы математических монографий, 13, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1965, xiii + 190 с.
4. ^Кавада, Коити; Вули, Тревор Д. (2001), «О проблеме Варинга – Гольдбаха для четвертой и пятой степеней» (PDF), Труды Лондонского математического общества, 83(1): 1– 50, doi : 10.1112 / plms / 83.1.1, hdl :2027.42/135164.