Гипотеза Улама об упаковке

Есть ли какое-нибудь трехмерное выпуклое тело с меньшей плотностью упаковки, чем сфера?

Гипотеза Улама об упаковке, названная в честь Станислава Улама, является гипотезой о максимально возможной плотности упаковки идентичных выпуклых тел в трехмерном евклидовом пространстве. Гипотеза гласит, что плотность оптимальной для упаковки конгруэнтных сферы меньше, чем для любого другого тела выпуклого. То есть, согласно гипотезе, шар представляет собой выпуклое твердое тело, которое заставляет большую часть пространства оставаться пустой в его оптимальной структуре упаковки. Таким образом, эта гипотеза связана с гипотезой Кеплера об упаковке сфер.. Поскольку решение гипотезы Кеплера устанавливает, что одинаковые шары должны оставлять пустым ≈25,95% пространства, гипотеза Улама эквивалентна утверждению, что никакие другие выпуклые твердые тела не заставляют так много места оставаться пустым.

• 1 Происхождение
• 2 Подтверждающие аргументы
• 3 Аналоги в других измерениях
• 4 ссылки

Это предположение было посмертно приписано Уламу Мартином Гарднером, который отмечает в постскриптуме, добавленном к одной из его колонок « Математические игры», что Улам сообщил ему эту гипотезу в 1972 году. Хотя первоначальная ссылка на гипотезу утверждает только, что Улам «подозревал» мяч. чтобы быть наихудшим случаем упаковки, это утверждение впоследствии было воспринято как предположение.

Численные эксперименты с большим разнообразием выпуклых тел в каждом случае приводили к созданию упаковок, которые оставляют меньше пустого пространства, чем остается при плотной упаковке равных сфер, и такое количество твердых тел было исключено как контрпримеры гипотезы Улама. Тем не менее, существует бесконечное пространство возможных форм, которые не исключены.

Йоав Каллус показал, что по крайней мере среди точечно-симметричных тел шар составляет локальный максимум доли вынужденного пустого пространства. То есть любое точечно-симметричное твердое тело, которое не слишком сильно отклоняется от шара, может быть упаковано с большей эффективностью, чем шары.

Аналог гипотезы Улама об упаковке в двух измерениях сказал бы, что никакая выпуклая форма не заставляет более ≈9,31% плоскости оставаться непокрытой, поскольку это часть пустого пространства, оставшегося незакрытым в самой плотной упаковке дисков. Однако правильный восьмиугольник и сглаженный восьмиугольник дают контрпримеры. Предполагается, что правильные семиугольники заставляют большую часть плоскости оставаться открытой. В размерностях больше четырех (исключая 8 и 24) ситуация осложняется тем, что аналоги гипотезы Кеплера остаются открытыми.