Тавтология (правило вывода)

В логике высказываний, тавтология может быть одним из двух часто используемые правила замены. Правила используются для устранения избыточности в дизъюнкциях и соединениях, когда они встречаются в логических доказательствах. Это:

Принцип идемпотентности дизъюнкции :

$P\; \vee \; P\; \iff \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; lor\; P\; \backslash \; Leftrightarrow\; P\}$

и принцип идемпотентность соединения :

$P\; \wedge \; P\; \iff \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; land\; P\; \backslash \; Leftrightarrow\; P\}$

Где "$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$" - это металогический символ, представляющий «может быть заменен в логическом доказательстве на.»

Теоремы - это те логические формулы $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, где $⊢\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vdash\; \backslash \; phi\}$является выводом действительного доказательства, в то время как эквивалентное семантическое следствие $\{\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; models\; \backslash \; phi\}$указывает тавтология.

Правило тавтологии может быть выражено как секвенция :

$P\; \vee \; P\; ⊢\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; lor\; P\; \backslash \; vdash\; P\}$

и

$P\; \wedge \; P\; ⊢\; P\; \{\; \backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; land\; P\; \backslash \; vdash\; P\}$

, где $⊢\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vdash\}$- металогический символ, означающий, что $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$является синтаксическим следствием из $P\; \vee \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; lor\; P\}$, в одном случае $P\; \wedge \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; land\; P\}$в другом, в некоторой логической системе ;

или как правило вывода :

$P\; \vee \; P\; \therefore \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\; \backslash \; lor\; P\; \}\; \{\backslash \; поэтому\; P\}\}\}$

и

$P\; \wedge \; P\; \therefore \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\; \backslash \; land\; P\}\; \{\backslash \; поэтому\; P\}\}\}$

где правило гласит, что везде, где есть экземпляр из «$P\; \vee \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; lor\; P\}$» или «$P\; \wedge \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; land\; P\}$» отображается в строке для доказательства его можно заменить на "$P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$";

или как утверждение функциональной истинности тавтологии или теорема логики высказываний. Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как:

$(P\; \vee \; P)\; \to \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\; \backslash \; lor\; P)\; \backslash \; к\; P\}$

и

$(P\; \wedge \; P)\; \to \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\; \backslash \; land\; P)\; \backslash \; to\; P\}$

где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- это предложение, выраженное в некоторой формальной системе.