Войти
В математике множество Серпинского - это несчетное подмножество реального векторного пространства, пересечение которого с каждым множеством нулевой меры является счетным. Существование множеств Серпинского не зависит от аксиом ZFC. Серпинский (1924) показал, что они существуют, если гипотеза континуума верна. С другой стороны, они не существуют, если аксиома Мартина для ℵ 1 верна. Множества Серпинского являются слабо лузинскими множествами, но не лузинскими множествами (Кунен 2011, с. 376).
Выберите набор из 2 подмножеств меры 0 из R так, чтобы каждое подмножество меры 0 содержалось в одном из них. По гипотезе континуума их можно перечислить как S α для счетных ординалов α. Для каждого счетного ординала β выберите действительное число x β, которого нет ни в одном из множеств S α для α < β, which is possible as the union of these sets has measure 0 so is not the whole of R . Тогда несчетное множество X всех этих действительных чисел x β имеет только счетное количество элементов в каждом множестве S α, как и множество Серпинского.
Набор Серпинского может быть добавляемой подгруппой. Для этого модифицируют приведенную выше конструкцию, выбирая действительное число x β, которое не входит ни в одно из счетного числа множеств вида (S α + X) / n для α < β, where n is a positive integer and X is an integral linear combination of the numbers xα для α < β. Then the group generated by these numbers is a Sierpiński set and a group under addition. More complicated variations of this construction produce examples of Sierpiński sets that are subfields or real-closed subfields of the real numbers.
