Положительный многочлен

Содержание

Примеры positivstellensatz (и nichtnegativsatz) 88>Глобально положительные многочлены и разложение по сумме квадратов.

• Каждый действительный многочлен от одной переменной и с четной степенью неотрицателен на ℝ тогда и только тогда, когда он является суммой двух квадратов действительных многочленов от одной переменной. Эта эквивалентность не распространяется на многочлен с более чем одной переменной: например, многочлен Моцкина XY + XY - 3XY + 1 неотрицателен на ℝ, но не является суммой квадратов элементов из ℝ [ X, Y].
• Вещественный многочлен от n переменных неотрицателен на ℝ тогда и только тогда, когда он является суммой квадратов действительных рациональных функций от n переменных (см. семнадцатая проблема Гильберта и решение Артина)
• Предположим, что p ∈ ℝ [X 1,..., X n ] однородно четной степени. Если оно положительно на ℝ \ {0}, тогда существует целое число m такое, что (X 1 +... + X n) p является суммой квадратов элементов from ℝ [X 1,..., X n].

Полиномы, положительные на многогранниках.

• Для полиномов степени ≤ 1 имеем следующий вариант леммы Фаркаша : Если f, g 1,..., g k имеют степень ≤ 1 и f (x) ≥ 0 для каждого x ∈ ℝ, удовлетворяющего g 1 (x) ≥ 0,..., g k (x) ≥ 0, то существуют неотрицательные действительные числа c 0, c 1,..., c k такие, что f = c 0 + c 1g1+... + c kgk.
• Теорема Поли: если p ∈ ℝ [X 1,..., X n ] однородно, а p положительно на множестве {x ∈ ℝ | x 1 ≥ 0,..., x n ≥ 0, x 1 +... + x n ≠ 0}, то существует целое число m такое, что (x 1 +... + x n) p имеет неотрицательные коэффициенты.
• Теорема Гендельмана: если K компактный многогранник в евклидовом d-пространстве, определяемый линейными неравенствами g i ≥ 0, и если f - многочлен от d переменных, положительный на K, то f может быть выражен как линейная комбинация с неотрицательные коэффициенты произведений членов {g i}.

Многочленов, положительных на полуалгебраических множествах.

• Наиболее общий результат - это Positivstellensatz.
• Стенгла. 32>, positivstellensatz Путинара и positivstellensatz Василеску. Дело в том, что знаменатели не нужны.
• Для хороших компактных полуалгебраических множеств низкой размерности существует nichtnegativstellensatz без знаменателей.

существуют также Positivstellensatz для тригонометрических полиномов, матричные полиномы, полиномы от свободных переменных, различные квантовые полиномы и т. д.

• Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Реальная алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 г. Отредактировано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x + 430 стр. ISBN 3-540- 64663-9.
• Маршалл, Мюррей. «Положительные многочлены и суммы квадратов». Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 стр. ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4.

• Полиномиальный SOS
• семнадцатая проблема Гильберта