Теорема Пуанкаре об отделении

В математике теорема Пуанкаре о разделении дает верхнюю и нижнюю границы собственных значений вещественного числа симметричная матрица B'AB, которую можно рассматривать как ортогональную проекцию большой вещественной симметричной матрицы A на линейное подпространство, натянутое на столбцы B. Теорема названа в честь Анри Пуанкаре.

Более конкретно, пусть A - вещественная симметричная матрица размера n × n, а B - полуортогональная матрица n × r , такая, что B'B = I r. Обозначим $\lambda \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$, i = 1, 2,..., n и $\mu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}.\; \}$, i = 1, 2,..., r собственные значения A и B'AB, соответственно (в порядке убывания). У нас есть

$\lambda \; я\; \ge \; \mu \; я\; \ge \; \lambda \; N\; -\; r\; +\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n-r\; +\; i\},\}$

Алгебраическое доказательство, основанное на вариационной интерпретации собственных значений, было опубликовано в книге Магнуса «Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике». С геометрической точки зрения B'AB можно рассматривать как ортогональную проекцию A на линейное подпространство, натянутое на B, поэтому приведенные выше результаты следуют немедленно.