Функция Паттерсона

Функция Паттерсона используется для решения фазовой задачи в X -лучевая кристаллография. Он был представлен в 1935 году Артуром Линдо Паттерсоном, когда он был приглашенным исследователем в лаборатории Бертрама Юджина Уоррена в Массачусетском технологическом институте.

Функция Паттерсона определяется как

$P\; (u,\; v,\; w)\; =\; \sum \; hkl\; |\; F\; h\; k\; l\; |\; 2\; е\; -\; 2\; \pi \; я\; (ч\; и\; +\; к\; в\; +\; л\; ш).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (u,\; v,\; w)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{hkl\}\; \backslash \; left\; |\; F\_\; \{hkl\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash ;\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; i\; (hu\; +\; kv\; +\; lw)\}.\}$

По сути, это преобразование Фурье интенсивностей, а не структурные факторы. Функция Паттерсона также эквивалентна электронной плотности свернутой с обратным ей:

$P\; (u\; \to )\; =\; \rho \; (r\; \to )\; \ast \; \rho \; (-\; r\; \to ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; vec\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; *\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; right).\}$

Кроме того, карта Паттерсона из N точек будет иметь N (N - 1) пиков, исключая центральный (исходный) пик и любое перекрытие.

Положения пиков в функции Паттерсона представляют собой векторы межатомных расстояний, а высота пиков пропорциональна произведению числа электронов в соответствующих атомах.

Поскольку для каждого вектора между атомами i и j существует противоположно ориентированный вектор такой же длины (между атомами j и i), функция Паттерсона всегда имеет центросимметрию.

Рассмотрим ряд дельта-функций, задаваемый формулой

$f\; (x)\; =\; \delta \; (x)\; +\; 3\; \delta \; (x\; -\; 2)\; +\; \delta \; (x\; -\; 5)\; +\; 3\; \delta \; (\; х\; -\; 8)\; +\; 5\; \delta \; (х\; -\; 10);\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; дельта\; (х)\; +3\; \backslash \; дельта\; (х-2)\; +\; \backslash \; дельта\; (х-5)\; +3\; \backslash \; дельта\; (х-8)\; +5\; \backslash \; дельта\; (х-10);\; \backslash ,\}$

тогда функция Паттерсона равна

$P\; (u)\; =\; 5\; \delta \; (u\; +\; 10)\; +\; 18\; \delta \; (u\; +\; 8)\; +\; 9\; \delta \; (u\; +\; 6)\; +\; 6\; \delta \; (u\; +\; 5)\; +\; 6\; \delta \; (u\; +\; 3)\; +\; 18\; \delta \; (u\; +\; 2)\; +\; 45\; \delta \; (u)\; +\; +\; 18\; \delta \; (u\; -\; 2)\; +\; 6\; \delta \; (u\; -\; 3)\; +\; 6\; \delta \; (u\; -\; 5)\; +\; 9\; \delta \; (\; u\; -\; 6)\; +\; 18\; \delta \; (u\; -\; 8)\; +\; 5\; \delta \; (u\; -\; 10).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\; (u)\; =\; \{\}\; 5\; \backslash \; delta\; (u\; +\; 10)\; +18\; \backslash \; delta\; (u\; +\; 8)\; +9\; \backslash \; delta\; (u\; +\; 6)\; +6\; \backslash \; delta\; (u\; +\; 5)\; +6\; \backslash \; дельта\; (и\; +\; 3)\; +18\; \backslash \; дельта\; (и\; +\; 2)\; +45\; \backslash \; дельта\; (и)\; +\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; 18\; \backslash \; дельта\; (и-2)\; +6\; \backslash \; дельта\; (и-3)\; +6\; \backslash \; delta\; (u-5)\; +9\; \backslash \; delta\; (u-6)\; +18\; \backslash \; delta\; (u-8)\; +5\; \backslash \; delta\; (u-10).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$