Сжатая сфероидальная волновая функция

редактировать

В В прикладной математике волновые функции сжатой сфероидальной формы участвуют в решении уравнения Гельмгольца в сжатых сфероидальных координатах. При решении этого уравнения $Δ Φ + k 2 Φ = 0 {\ displaystyle \ Delta \ Phi + k ^ {2} \ Phi = 0}$ $\ Delta \ Phi + k ^ 2 \ Phi = 0$ методом разделения переменных $(ξ, η, ϕ) {\ displaystyle (\ xi, \ eta, \ phi)}$ $(\ xi, \ eta, \ phi)$ , где:

x = (d / 2) ξ η, {\ displaystyle \ x знак равно (d / 2) \ xi \ eta,}

\ x = (d / 2) \ xi \ eta,

y = (d / 2) (ξ 2 + 1) (1 - η 2) соз ⁡ ϕ, {\ displaystyle \ y = (d / 2) { \ sqrt {(\ xi ^ {2} +1) (1- \ eta ^ {2})}} \ cos \ phi,}

\ y = (d / 2) \ sqrt {(\ xi ^ 2 + 1) ( 1- \ eta ^ 2)} \ cos \ phi,

z = (d / 2) (ξ 2 + 1) (1 - η 2) грех ⁡ ϕ, {\ Displaystyle \ Z = (d / 2) {\ sqrt {(\ xi ^ {2} +1) (1- \ eta ^ {2})}} \ sin \ phi,}

\ z = (d / 2) \ sqrt { (\ xi ^ 2 + 1) (1- \ eta ^ 2)} \ sin \ phi,

ξ ≥ 0 и | η | ≤ 1. {\ displaystyle \ \ xi \ geq 0 {\ text {and}} | \ eta | \ leq 1.}

\ \ xi \ ge 0 \ text {and} | \ eta | \ le 1.

решение $Φ (ξ, η, ϕ) {\ displaystyle \ Phi ( \ xi, \ eta, \ phi)}$ $\Phi(\xi,\eta,\phi)$ можно представить как произведение радиальной сфероидальной волновой функции $R mn (- ic, i ξ) {\ displaystyle R_ {mn} (- ic, i \ xi)}$ $R_ {mn} (- ic, i \ xi)$ и угловая сфероидальная волновая функция $S mn (- ic, η) {\ displaystyle S_ {mn} (- ic, \ eta)}$ $S_ {mn} (- ic, \ eta)$ автор $эим ϕ {\ displaystyle e ^ {im \ phi}}$ $e ^ {im \ phi}$ . Здесь $c = kd / 2 {\ displaystyle c = kd / 2}$ $c=kd/2$ , где $d {\ displaystyle d}$ $d$ - межфокусное расстояние эллиптического поперечного сечения. сплющенного сфероида.

Радиальная волновая функция $R mn (- ic, i ξ) {\ displaystyle R_ {mn} (- ic, i \ xi)}$ $R_ {mn} (- ic, i \ xi)$ удовлетворяет линейное обыкновенное дифференциальное уравнение :

(ξ 2 + 1) d 2 R mn (- ic, i ξ) d ξ 2 + 2 ξ d R mn (- ic, i ξ) d ξ - (λ mn ( в) - с 2 ξ 2 - м 2 ξ 2 + 1) р мп (- ic, я ξ) = 0 {\ displaystyle \ (\ xi ^ {2} +1) {\ frac {d ^ {2} R_ {mn} (- ic, i \ xi)} {d \ xi ^ {2}}} + 2 \ xi {\ frac {dR_ {mn} (- ic, i \ xi)} {d \ xi}} - \ left (\ lambda _ {mn} (c) -c ^ {2} \ xi ^ {2} - {\ frac {m ^ {2}} {\ xi ^ {2} +1}} \ right) { R_ {mn} (- ic, i \ xi)} = 0}

\ ( \ xi ^ 2 +1) \ frac {d ^ 2 R_ {mn} (- ic, i \ xi)} {d \ xi ^ 2} + 2 \ xi \ frac {d R_ {mn} (- ic, i \ xi)} {d \ xi} - \ left (\ lambda_ {mn} (c) -c ^ 2 \ xi ^ 2 - \ frac {m ^ 2} {\ xi ^ 2 + 1} \ right) {R_ {mn} (- ic, i \ xi)} = 0

Угловая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(1 - η 2) d 2 S mn (- ic, η) d η 2 - 2 η d S mn (- ic, η) d η + (λ mn (c) + c 2 η 2 - m 2 1 - η 2) S mn (- ic, η) = 0 {\ displaystyle \ (1 - \ eta ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} S_ {mn} (- ic, \ eta)} {d \ eta ^ {2}}} - 2 \ eta {\ frac {dS_ {m n} (- ic, \ eta)} {d \ eta}} + \ left (\ lambda _ {mn} (c) + c ^ {2} \ eta ^ {2} - {\ frac {m ^ {2 }} {1- \ eta ^ {2}}} \ right) {S_ {mn} (- ic, \ eta)} = 0}

\ (1- \ eta ^ 2) \ frac {d ^ 2 S_ {mn} (- ic, \ eta)} {d \ eta ^ 2} - 2 \ eta \ frac {d S_ {mn} (- ic, \ eta)} {d \ eta} + \ left (\ lambda_ {mn} (c) + c ^ 2 \ eta ^ 2 - \ frac {m ^ 2} {1- \ eta ^ 2} \ right) {S_ {mn} (- ic, \ eta)} = 0

Это то же дифференциальное уравнение, что и в случае радиальной волновой функции. Однако диапазон радиальной координаты $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ отличается от диапазона угловой координаты $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ .

Собственное значение $λ mn (- ic) {\ displaystyle \ lambda _ {mn} (- ic)}$ $\ lambda_ {mn} (- ic)$ этого дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля фиксируется требованием, чтобы $S mn (- ic, η) {\ displaystyle {S_ {mn} (- ic, \ eta)}}$ ${S_ {mn} (- ic, \ eta)}$ должен быть конечным для $| η | = 1 {\ displaystyle | \ eta | = 1}$ $| \ eta | = 1$ .

Для $c = 0 {\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ эти два дифференциальных уравнения сводятся к уравнениям, которым удовлетворяет , связанный Многочлены Лежандра. Для $c ≠ 0 {\ displaystyle c \ neq 0}$ $c \ ne 0$ угловые сфероидальные волновые функции могут быть расширены в виде ряда функций Лежандра.

Приведенные выше дифференциальные уравнения для сжатых радиальных и угловых волновых функций могут быть получены из соответствующих уравнений для волновых функций вытянутой сфероидальной формы заменой $- ic {\ displaystyle -ic}$ $-ic$ для $c {\ displaystyle c}$ $c$ и $i ξ {\ displaystyle i \ xi}$ $i \ xi$ для $ξ { \ Displaystyle \ xi}$ $\ xi$ . Обозначения для сжатых сфероидальных функций отражают эту взаимосвязь.

Существуют разные схемы нормализации сфероидальных функций. Таблицу различных схем можно найти у Абрамовица и Стегуна. Абрамовиц и Стегун (и настоящая статья) следуют обозначениям Фламмера.

Первоначально сфероидальные волновые функции были введены К. Нивеном, что привело к уравнению Гельмгольца в сфероидальных координатах. Монографии, связывающие воедино многие аспекты теории сфероидальных волновых функций, были написаны Стрэттом, Стрэттоном и др., Мейкснером, Шафке и Фламмером.

Фламмер провел подробное обсуждение вычисления собственных значений, угловых волновых функций, и радиальные волновые функции как для сжатого, так и для вытянутого случая. Компьютерные программы для этой цели были разработаны многими, в том числе Ван Бюреном и др., Кингом и Ван Бюреном, Байером и др., Чжаном и Джин и Томпсоном. Ван Бюрен недавно разработал новые методы расчета сфероидальных волновых функций, которые расширяют возможности получения числовых значений до чрезвычайно широкого диапазона параметров. Эти результаты основаны на более ранней работе над вытянутыми сфероидальными волновыми функциями. Исходный код Fortran, объединяющий новые результаты с традиционными методами, доступен на http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.

Таблицы числовых значений сжатых сфероидальных волновых функций приведены у Flammer, Hanish et al., And Van Бурен и др.

Асимптотические разложения угловых сжатых сфероидальных волновых функций для больших значений $c {\ displaystyle c}$ $c$ были получены Мюллером.

Цифровая библиотека математических функций http://dlmf.nist.gov, предоставленная NIST, является отличным ресурсом для сфероидальных волновых функций.

Ссылки

^. М. Абрамовиц и И. Стегун. Справочник по математическим функциям стр. 751-759 (Довер, Нью-Йорк, 1972)
^ С. Фламмер. Сфероидальные волновые функции Stanford University Press, Stanford, CA, 1957
^C. Нивен о теплопроводности в эллипсоидах вращения. Философские труды Лондонского королевского общества, 171 с. 117 (1880)
^М. J. O. Strutt. Lamesche, Mathieusche и Verdandte Funktionen в Physik und Technik Ergebn. Математика. u. Grenzeb, 1, pp. 199-323, 1932
^J. А. Страттон, П. М. Морс, Дж. Л. Чу и Ф. Дж. Корбато. Сфероидальные волновые функции Wiley, New York, 1956
^J. Мейкснер и Ф. В. Шафке. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen Springer-Verlag, Берлин, 1954
^А. Л. Ван Бурен, Р. В. Байер и С. Ханиш Компьютерная программа на Фортране для вычисления сжатых сфероидальных радиальных функций первого и второго рода и их первых производных. (1970)
^B. Дж. Кинг и А. Л. Ван Бурен Компьютерная программа на языке Fortran для вычисления вытянутых и сжатых сфероидальных угловых функций первого рода и их первой и второй производных. (1970)
^R. В. Байер, А. Л. Ван Бурен, С. Ханиш, Б. Дж. Кинг - Сфероидальные волновые функции: их использование и оценка Журнал Акустического общества Америки, 48, стр. 102– 102 (1970)
^С. Чжан и Дж. Цзинь. Вычисление специальных функций, Wiley, New York, 1996
^W. Дж. Томсон Сфероидальные волновые функции Архивировано 16 февраля 2010 г. в Wayback Machine Вычисления в науке и технике с. 84, май – июнь 1999 г.
^А. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Бойсверт. Точный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций первого рода и их первых производных, Quarterly of Applied Mathematics 60, pp. 589-599, 2002
^A. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Бойсверт. Усовершенствованный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций второго рода и их первых производных, Quarterly of Applied Mathematics 62, pp. 493-507, 2004
^S. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бурен и Б. Дж. Кинг Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 4, сжатый, m = 0 (1970)
^S. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бурен и Б. Дж. Кинг Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 5, сжатый, m = 1 (1970)
^S. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бурен и Б. Дж. Кинг Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 6, сжатый, m = 2 (1970)
^A. Л. Ван Бюрен, Б. Дж. Кинг, Р. В. Байер и С. Ханиш. Таблицы угловых сфероидальных волновых функций, т. 2, сжатый, m = 0, Морская исследовательская лаборатория. Публикация, U. S. Govt. Типография, 1975
^H.J.W. Мюллер, Асимптотические разложения сплюснутых сфероидальных волновых функций и их характеристические числа, J. Reine angew. Математика. 211 (1962) 33 - 47.

Внешние ссылки