Поверхность Морина

Поверхность Морина, вид сверху Поверхность Морина, вид сбоку выворот бумажной сферы и поверхность Морина бумажная поверхность Морина (выворот сферы на полпути) с гексагональной симметрией

Поверхность Morin является наполовину моделью из сферы выворачивания обнаруженного Бернарда Morin. Он обладает четырехступенчатой ​​вращательной симметрией.

Если исходная сфера, которую нужно вывернуть, имеет внешнюю поверхность зеленого цвета, а внутреннюю - красного цвета, то, когда сфера посредством гомотопии трансформируется в поверхность Морина, половина видимой снаружи поверхности Морина будет зеленой, а половина - красной:

Половина поверхности Морина соответствует внешней стороне (зеленый цвет) сферы, которой она гомеоморфна, а другая симметричная половина внутренней части (красная).

Затем поворот поверхности на 90 ° вокруг оси симметрии изменит ее цвета, то есть изменит внутреннюю и внешнюю полярность ориентируемой поверхности, так что повторение шагов гомотопии в точно таком же положении обратно к исходной сфере после того, как Повернутая таким образом поверхность Морина даст сферу, внешняя поверхность которой красная, а внутренняя - зеленая: сфера, вывернутая наизнанку. Ниже приводится краткое описание выворота:

1. сфера: зеленая снаружи, красная внутри... 2. превращается в... 3. поверхность Морена, 3 '. Поверхность Морина повернута на 90 °... 2 '. обратно превращается в... 1 '. сфера: красный снаружи, зеленый внутри.

• 1 Структура поверхности Морина
• 2 Галерея поверхностей Morin
• 3 Аналитическая поверхность Морина
• 4 Галерея аналитических поверхностей Морина
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Поверхность Морина можно разделить на четыре равных четверти части. Эти разделы могут называться здесь восточным, южным, западным и северным разделами или, соответственно, разделом 0, разделом 1, разделом 2 и разделом 3.

Разрез к востоку от поверхности Морина.

Поверхность Морина имеет четвертую точку, через которую проходит ее ось симметрии. Эта четверная точка является начальной и конечной точкой шести линий двойных точек. Каждая четверть-секция ограничена тремя линиями двойных точек, так что каждая четверть-секция гомеоморфна треугольнику. Сечение Восток теперь показано схематично: На схеме показано сечение Востока, ограниченное тремя петлями: ABCDA, AEFGA и AHIJA. Третья петля, AHIJA, представляет собой линию двойных точек, где восточная часть пересекается сама с собой. Петля ABCDA - это только линия из двойных точек, когда восточная секция соединяется с западной секцией, а петля AEFGA - это только линия из двойных точек, когда восточная секция соединяется с южной секцией. Точка - это четверная точка, которая на самом деле является перекрытием четырех разных точек: A 0, A 1, A 2, A 3.

Вот так секция Восток соединяется с другими секциями: пусть каждая из ее ограничивающих петель определяется упорядоченной пятеркой точек, тогда

${\ displaystyle (A_ {1}, B, C, D, A_ {3}) = (A_ {1}, D '', C '', B '', A_ {3})}$

${\ displaystyle (A_ {2}, E, F, G, A_ {3}) = (A_ {2}, H ', I', J ', A_ {3})}$

${\ displaystyle (A_ {1}, H, I, J, A_ {2}) = (A_ {1}, E '' ', F' '', G '' ', A_ {2})}$

где точки без штрихов относятся к разделу 0 (восток), точки со штрихом относятся к разделу 1 (юг), точки с двумя штрихами относятся к разделу 2 (запад), а точки с тройными штрихами относятся к разделу 3 (север).

Остальные три петли соединяют секции следующим образом:

${\ displaystyle (A_ {2}, B ', C', D ', A_ {0}) = (A_ {2}, D' '', C '' ', B' '', A_ {0}) }$

${\ displaystyle (A_ {3}, E ', F', G ', A_ {0}) = (A_ {3}, H' ', I' ', J' ', A_ {0})}$

${\ displaystyle (A_ {0}, E '', F '', G '', A_ {1}) = (A_ {0}, H '' ', I' '', J '' ', A_ { 1}).}$

Участок Восток, рассматриваемый сам по себе, имеет одну петлю из двойных точек: AHIJA. Если поверхность размотать и сплющить, результат будет следующим: который гомеоморфен треугольнику:

Соединение четырех треугольных секций на их стыках даст тетраэдр : который гомеоморфен сфере, что показывает, что поверхность Морена является самопересекающейся сферой.

Четыре разных вида поверхности Морина: первые два показаны с вырезанными «проходными барьерами», последние два - виды «снизу».

Поверхность Морина может быть элегантно описана системой уравнений либо в открытой версии (с полюсами, направленными в бесконечность), либо в замкнутой.

Линейчатая модель открытой поверхности Морина вид сверху диагональный вид вид сбоку Закрытая поверхность Морина вид сверху диагональный вид вид сбоку Модель открытой поверхности Морина из нейлоновой струны вид сверху вид сбоку

• Выворот сферы

• "Вывернув сферу наизнанку"
• История эверсий сфер