Теорема Литтлвуда о подчинении

редактировать

В математике, теорема о подчинении Литтлвуда, доказано Дж. Э. Литтлвуд в 1925 году, это теорема из теории операторов и комплексного анализа. В нем говорится, что любое голоморфное однолистное отображение на себя единичного диска в комплексных числах, которое фиксирует 0, индуцирует сжимающееся оператор композиции на различных функциональных пространствах голоморфных функций на диске. Эти пространства включают пространства Харди, пространства Бергмана и пространство Дирихле.

Содержание

1 Теорема о подчинении
2 Неравенства Литтлвуда
3 Доказательства
- 3.1 Случай p = 2
- 3.2 Общие пространства Харди
- 3.3 Неравенства
4 Примечания
5 Ссылки

Теорема о подчинении

Пусть h - голоморфное однолистное отображение единицы. диск D в себя так, что h (0) = 0. Тогда оператор композиции C h определен на голоморфных функциях f на D как

C h (f) = f ∘ h {\ displaystyle C_ { h} (f) = f \ circ h}

C_ {h} (f) = f \ circ h

определяет линейный оператор с operator norm меньше 1 в пространствах Харди $H p (D) {\ displaystyle H ^ {p} (D)}$ $H ^ {p} (D)$ , пространства Бергмана $A p (D) {\ displaystyle A ^ {p} (D)}$ $A ^ {p} (D)$ . (1 ≤ p < ∞) and the Dirichlet space $D (D) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (D)}$ ${\ mathcal {D}} (D)$ .

Нормы в этих пространствах определяются следующим образом:

‖ f ‖ H pp = sup r 1 2 π ∫ 0 2 π | е (рей θ) | pd θ {\ displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}} ^ {p} = \ sup _ {r} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (re ^ {i \ theta}) | ^ {p} \, d \ theta}

\ | f \ | _ {{H ^ {p}}} ^ {p} = \ sup _ {r} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} | f ( re ^ {{i \ theta}}) | ^ {p} \, d \ theta

‖ f ‖ A pp = 1 π ∬ D | f (z) | pdxdy {\ displaystyle \ | е \ | _ {A ^ {p}} ^ {p} = {1 \ over \ pi} \ iint _ {D} | f (z) | ^ {p} \, dx \, dy}

\ | f \ | _ {{A ^ {p}}} ^ {p} = {1 \ over \ pi} \ iint _ {D} | f (z) | ^ {p} \, dx \, dy

‖ е ‖ D 2 знак равно 1 π ∬ D | f '(z) | 2 dxdy = 1 4 π ∬ D | ∂ xf | 2 + | ∂ yf | 2 dxdy {\ displaystyle \ | f \ | _ {\ mathcal {D}} ^ {2} = {1 \ over \ pi} \ iint _ {D} | f ^ {\ prime} (z) | ^ {2} \, dx \, dy = {1 \ over 4 \ pi} \ iint _ {D} | \ partial _ {x} f | ^ {2} + | \ partial _ {y} f | ^ {2} \, dx \, dy}

\ | f \ | _ {{{\ mathcal D}}} ^ {2} = {1 \ over \ pi} \ iint _ { D} | f ^ {\ prime} (z) | ^ {2} \, dx \, dy = {1 \ over 4 \ pi} \ iint _ {D} | \ partial _ {x} f | ^ {2 } + | \ partial _ {y} f | ^ {2} \, dx \, dy

Неравенства Литтлвуда

Пусть f - голоморфная функция на единичном круге D, и пусть h - голоморфное однолистное отображение D в себя с h (0) = 0. Тогда, если 0 < r < 1 and 1 ≤ p < ∞

∫ 0 2 π | е (час (рей θ)) | pd θ ≤ ∫ 0 2 π | f (rei θ) | pd θ. {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (h (re ^ { i \ theta})) | ^ {p} \, d \ theta \ leq \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} | f (re ^ {i \ theta}) | ^ {p} \, d \ theta.}

\ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} | f (h (re ^ {{i \ theta}})) | ^ {p} \, d \ theta \ leq \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} | f (re ^ {{i \ theta}}) | ^ {p} \, d \ theta.

Это неравенство также выполняется для 0 < p < 1, although in this case there is no operator interpretation.

Доказательства

Случай p = 2

Чтобы доказать результат для H, достаточно показать, что для многочлена fa

‖ C hf ‖ 2 ≤ ‖ f ‖ 2, {\ displaystyle \ displaystyle {\ | C_ {h} f \ | ^ {2} \ leq \ | f \ | ^ {2},}}

\ displaystyle {\ | C_ {h} f \ | ^ {2} \ leq \ | f \ | ^ {2},}

Пусть U - односторонний сдвиг, определяемый как

U f (z) = zf (z). {\ displaystyle \ displaystyle {Uf (z) = zf (z)}.}

\ displaystyle {Uf (z) = zf (z)}.

К нему присоединяется U *, заданный как

U ∗ f (z) = f (z) - f (0) z. {\ displaystyle U ^ {*} f (z) = {f (z) -f (0) \ over z}.}

U ^ {*} f (z) = {f (z) -f (0) \ over z}.

Поскольку f (0) = a 0, это дает

е = a 0 + z U * f {\ displaystyle f = a_ {0} + zU ^ {*} f}

f = a_ {0} + zU ^ {*} f

и, следовательно,

C hf = a 0 + h C h U * f. {\ displaystyle C_ {h} f = a_ {0} + hC_ {h} U ^ {*} f.}

C_ {h} f = a_ {0 } + hC_ {h} U ^ {*} f.

Таким образом,

‖ C h f ‖ 2 = | а 0 | 2 + ‖ h C h U ∗ f ‖ 2 ≤ | а 0 2 | + ‖ C h U ∗ f ‖ 2. {\ displaystyle \ | C_ {h} f \ | ^ {2} = | a_ {0} | ^ {2} + \ | hC_ {h} U ^ {*} f \ | ^ {2} \ leq | a_ {0} ^ {2} | + \ | C_ {h} U ^ {*} f \ | ^ {2}.}

\ | C_ {h} f \ | ^ {2} = | a_ {0} | ^ {2} + \ | hC_ {h} U ^ {*} f \ | ^ {2} \ leq | a_ {0} ^ {2} | + \ | C_ {h} U ^ {*} f \ | ^ {2}.

Поскольку U * f имеет степень меньше f, по индукции следует, что

‖ C h U ∗ f ‖ 2 ≤ ‖ U ∗ f ‖ 2 = ‖ f ‖ 2 - | а 0 | 2, {\ displaystyle \ | C_ {h} U ^ {*} f \ | ^ {2} \ leq \ | U ^ {*} f \ | ^ {2} = \ | f \ | ^ {2} - | a_ {0} | ^ {2},}

\ | C_ {h} U ^ {*} f \ | ^ {2} \ leq \ | U ^ {*} f \ | ^ {2} = \ | f \ | ^ {2} - | a_ {0} | ^ {2},

и, следовательно,

‖ C hf ‖ 2 ≤ ‖ f ‖ 2. {\ displaystyle \ | C_ {h} f \ | ^ {2} \ leq \ | f \ | ^ {2}.}

\ | C_ {h} f \ | ^ {2} \ leq \ | f \ | ^ {2}.

Тот же метод доказательства работает для A и $D. {\ displaystyle {\ mathcal {D}}.}$ ${\ mathcal D}.$

Общие пространства Харди

Если f находится в пространстве Харди H, то оно имеет факторизацию

f (z) = fi ( z) fo (z) {\ displaystyle f (z) = f_ {i} (z) f_ {o} (z)}

f (z) = f_ {i} (z) f_ {o} (z)

с f i с внутренней функцией и f o an внешняя функция.

Тогда

‖ C hf ‖ H p ≤ ‖ (C hfi) (C hfo) ‖ H p ≤ ‖ C hfo ‖ H p ≤ ‖ C hfop / 2 ‖ H 2 2 / p ≤ ‖ f ‖ H p. {\ displaystyle \ | C_ {h} f \ | _ {H ^ {p}} \ leq \ | (C_ {h} f_ {i}) (C_ {h} f_ {o}) \ | _ {H ^ {p}} \ leq \ | C_ {h} f_ {o} \ | _ {H ^ {p}} \ leq \ | C_ {h} f_ {o} ^ {p / 2} \ | _ {H ^ {2}} ^ {2 / p} \ leq \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}

\ | C_ {h} f \ | _ {{H ^ {p}}} \ leq \ | (C_ {h} f_ {i}) (C_ {h} f_ {o}) \ | _ {{H ^ {p}}} \ leq \ | C_ {h} f_ {o} \ | _ {{H ^ {p}}} \ leq \ | C_ {h} f_ {o} ^ {{p / 2}} \ | _ {{H ^ {2}}} ^ {{2 / p}} \ leq \ | f \ | _ {{H ^ {p}}}.

Неравенства

Принимая 0 < r < 1, Littlewood's inequalities follow by applying the Hardy space inequalities to the function

fr (z) = f (rz). {\ displaystyle f_ {r} (z) = f (rz).}

f_ {r} (z) = f (rz).

Неравенства также можно вывести, следуя Риссу (1925), используя субгармонические функции. Из неравенств, в свою очередь, сразу следует теорема о подчинении для общих пространств Бергмана.

Примечания

Ссылки

Дюрен, П.Л. (1970), Теория H-пространств, Чистая и прикладная математика, 38, Academic Press
Littlewood, JE (1925), «О неравенствах в теории функций», Proc. Лондонская математика. Soc., 23 : 481–519, doi : 10.1112 / plms / s2-23.1.481
Никольский, Н.К. (2002), Операторы, функции и системы: легкое чтение. Vol. 1. Харди, Ханкель и Теплиц, Mathematical Surveys and Monographs, 92, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1083-9
Riesz, F. (1925), "Sur une inégalite de M. Littlewood dans la théorie des fonctions", Proc. Лондонская математика. Soc., 23 : 36–39, doi : 10.1112 / plms / s2-23.1.1-s
Шапиро, JH (1993), Операторы композиции и классическая теория функций, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7