Список интегралов от гиперболических функций

редактировать

Статья со списком Википедии

Ниже приведен список интегралов ( антипроизводные функции) гиперболических функций. Полный список интегральных функций см. В список интегралов.

Во всех формулах константа a считается ненулевой, а C обозначает константу интегрирования.

Содержание

1 Интегралы, включающие только функции гиперболического синуса
2 Интегралы, содержащие только функции гиперболического косинуса
3 Другие интегралы
- 3.1 Интегралы от функций гиперболического тангенса, котангенса, секанса и косеканса
- 3.2 Интегралы, содержащие функции гиперболического синуса и косинуса
- 3.3 Интегралы, включающие гиперболические и тригонометрические функции

Интегралы, включающие только функции гиперболического синуса

$∫ sinh ⁡ axdx = 1 a cosh ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int \ sinh ax \, dx = {\ frac {1} {a }} \ cosh ax + C}$ ${\ displaystyle \ int \ sinh ax \, dx = {\ frac {1} {a}} \ cosh ax + C}$

$∫ sinh 2 ⁡ axdx = 1 4 a sinh ⁡ 2 ax - x 2 + C {\ displaystyle \ int \ sinh ^ {2} ax \, dx = {\ frac {1 } {4a}} \ sh 2ax - {\ frac {x} {2}} + C}$ ${\ displaystyle \ int \ sinh ^ {2} ax \, dx = { \ frac {1} {4a}} \ sh 2ax - {\ frac {x} {2}} + C}$

$∫ sinh n ⁡ axdx = 1 an (sh n - 1 ⁡ ax) (ch ⁡ ax) - n - 1 n ∫ sinh n - 2 ⁡ axdx (для n>0) {\ displaystyle \ int \ sinh ^ {n} ax \, dx = {\ frac {1} {an}} (\ sin h ^ {n-1} ax) (\ ch ax) - {\ frac {n-1} {n}} \ int \ sinh ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для} } n>0 {\ t_dv {)}}}$ $\int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}(\sinh ^{n-1}ax)(\cosh ax)-{\frac {n-1}{n}}\int \sinh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n>0 {\ t_dv {)}}$

также:

∫ sinh n ⁡ axdx = 1 a (n + 1) (sinh n + 1 ax) (cosh ax) (cosh ax) - n + 2 n + 1 ∫ sinh n + 2 ⁡ axdx (для n < 0, n ≠ − 1) {\displaystyle \int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}(\sinh ^{n+1}ax)(\cosh ax)-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n<0{\t_dv{, }}n\neq -1{\t_dv{)}}}

{\ displaystyle \ int \ sinh ^ {n} ax \, dx = {\ frac {1} {a (n + 1)}} (\ sinh ^ {n + 1} ax) (\ cosh ax) - {\ frac {n + 2} {n + 1}} \ int \ sinh ^ {n + 2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n <0 {\ t_dv {,} } п \ neq -1 {\ t_dv {)}}}

$∫ dx sh ax = 1 a ln ⁡ | tanh ⁡ a x 2 | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | \ tanh {\ frac {ax} {2}} \ right | + C}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | \ tanh {\ frac {ax} {2}} \ right | + C}$

также:

∫ dx sinh ⁡ ax = 1 a ln ⁡ | ch ⁡ a x - 1 sh ⁡ a x | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | {\ frac {\ cosh ax-1} {\ sinh ax} } \ right | + C}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | {\ frac {\ cosh ax-1} {\ sinh ax}} \ right | + C}

∫ dx sinh ⁡ ax = 1 a ln ⁡ | sh ⁡ a x ch ⁡ a x + 1 | + С {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | {\ frac {\ sinh ax} {\ ch ax + 1} } \ right | + C}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | {\ frac {\ sinh ax} {\ cosh ax + 1}} \ right | + C}

∫ dx sinh ⁡ ax = 1 2 a ln ⁡ | cosh ⁡ a x - 1 ch ⁡ a x + 1 | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | {\ frac {\ cosh ax-1} {\ cosh ax + 1}} \ right | + C}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ax}} = {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | {\ frac {\ cosh ax-1} {\ cosh ax + 1}} \ right | + C}

$∫ dx sh n ⁡ ax = - ch ⁡ axa (n - 1) sh n - 1 ⁡ ax - n - 2 n - 1 ∫ dx sh n - 2 ⁡ ax ( п ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ^ {n} ax}} = - {\ frac {\ cosh ax} {a (n-1) \ sinh ^ {n-1 } ax}} - {\ frac {n-2} {n-1}} \ int {\ frac {dx} {\ sinh ^ {n-2} ax}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sinh ^ {n} ax}} = - {\ frac {\ cosh ax} {a (n-1) \ sinh ^ {n- 1} ax}} - {\ frac {n-2} {n-1}} \ int {\ frac {dx} {\ sinh ^ {n-2} ax}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$

$∫ x sinh ⁡ axdx = 1 ax cosh ⁡ ax - 1 a 2 sinh ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int x \ sinh ax \, dx = {\ frac {1} {a}} x \ ch ax - {\ frac {1} {a ^ {2}}} \ sinh ax + C}$ ${\ displaystyle \ int x \ sinh ax \, dx = {\ frac {1} {a }} x \ cosh ax - {\ frac {1} {a ^ {2}}} \ sinh ax + C}$

$∫ (sinh ⁡ ax) (sh ⁡ bx) dx = 1 a 2 - б 2 (a (зп ⁡ bx) (сп ⁡ топор) - Ь (сп ⁡ bx) (зп ⁡ топор)) + С (для 2 ≠ б 2) {\ displaystyle \ int (\ sinh ax) ( \ sinh bx) \, dx = {\ frac {1} {a ^ {2} -b ^ {2}}} {\ big (} a (\ sinh bx) (\ ch ax) -b (\ ch bx) (\ sh ax) {\ big)} + C \ qquad {\ t_dv {(for}} a ^ {2} \ neq b ^ {2} {\ t_dv {)}}}$ ${\ displaystyle \ int (\ sinh ax) (\ sinh bx) \, dx = {\ frac {1} {a ^ {2} -b ^ {2}}} {\ big (} a (\ sinh bx) (\ ch ax) -b (\ cosh bx) (\ sinh ax) {\ big)} + C \ qquad {\ t_dv {(для}} a ^ {2} \ neq b ^ {2} {\ t_dv {) }}}$

Интегралы, включающие только гиперболические функции косинуса

$∫ ch ⁡ axdx = 1 a sh ⁡ ax + C {\ displa ystyle \ int \ cosh ax \, dx = {\ frac {1} {a}} \ sinh ax + C}$ ${\ displaystyle \ int \ cosh ax \, dx = {\ frac {1} {a}} \ sinh ax + C}$

$∫ cosh 2 ⁡ axdx = 1 4 a sinh ⁡ 2 ax + x 2 + C {\ displaystyle \ int \ cosh ^ {2} ax \, dx = {\ frac {1} {4a}} \ sinh 2ax + {\ frac {x} {2}} + C}$ ${\ displaystyle \ int \ cosh ^ {2} ax \, dx = {\ frac {1} { 4a}} \ sh 2ax + {\ frac {x} {2}} + C}$

$∫ ch n ⁡ axdx = 1 an (зп ⁡ топор) (сп N - 1 ⁡ топор) + N - 1 N ∫ сш N - 2 ⁡ axdx (для п>0) {\ Displaystyle \ int \ cosh ^ {n} топор \, dx = {\ гидроразрыва {1} {an}} (\ sinh ax) (\ ch ^ {n-1} ax) + {\ frac {n-1} {n}} \ int \ cosh ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n>0 {\ t_dv {)}}}$ $\int \cosh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}(\sinh ax)(\cosh ^{n-1}ax)+{\frac {n-1}{n}}\int \cosh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n>0 {\ t_dv {)}}$

также:

∫ cosh n ⁡ axdx = - 1 a (n + 1) ( зп ⁡ топор) (сш п + 1 ⁡ топор) + п + 2 п + 1 ∫ сш п + 2 ⁡ axdx (для п < 0, n ≠ − 1) {\displaystyle \int \cosh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}(\sinh ax)(\cosh ^{n+1}ax)+{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\t_dv{(for }}n<0{\t_dv{, }}n\neq -1{\t_dv{)}}}

{\ displaystyle \ int \ cosh ^ {n} ax \, dx = - {\ frac {1} {a (n + 1)} } (\ sh ax) (\ ch ^ {n + 1 } ax) + {\ frac {n + 2} {n + 1}} \ int \ cosh ^ {n + 2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n <0 {\ t_dv {, }} n \ neq -1 {\ t_dv {)}}}

$∫ дх сш ⁡ топор = 2 а арктангенс ⁡ еакс + С {\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cosh ax}} = {\ frac {2} {a}} \ arctan e ^ {ax} + C}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cosh ax}} = {\ frac {2} {a}} \ arctan e ^ {ax} + C}$

также:

∫ dx ch ⁡ ax = 1 a arctan ⁡ (зп ⁡ топор) + С {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cosh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ ar ctan (\ sinh ax) + C}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cosh ax}} = {\ frac {1} {a}} \ arctan (\ sinh ax) + C}

$∫ dx ch n ⁡ ax = sh ⁡ axa (n - 1) ch n - 1 ⁡ ax + n - 2 n - 1 ∫ dx ch n - 2 ⁡ ax (для п ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cosh ^ {n} ax}} = {\ frac {\ sinh ax} {a (n-1) \ cosh ^ {n-1} топор }} + {\ frac {n-2} {n-1}} \ int {\ frac {dx} {\ cosh ^ {n-2} ax}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cosh ^ {n} ax}} = {\ frac {\ sinh ax } {a (n-1) \ ch ^ {n-1} ax}} + {\ frac {n-2} {n-1}} \ int {\ frac {dx} {\ cosh ^ {n-2 } ax}} \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$

$∫ x cosh ⁡ axdx = 1 ax sinh ⁡ ax - 1 a 2 cosh ⁡ ax + C {\ displaystyle \ int x \ cosh ax \, dx = {\ frac {1 } {a}} x \ sinh ax - {\ frac {1} {a ^ {2}}} \ ch ax + C}$ ${\ displaystyle \ int x \ cosh ax \, dx = {\ frac {1} {a}} x \ sinh ax - {\ frac {1} {a ^ {2}}} \ cosh ax + C}$

$∫ x 2 ch ⁡ axdx = - 2 x ch ⁡ axa 2 + (x 2 a + 2 a 3) зп ⁡ топор + C {\ displaystyle \ int x ^ {2} \ cosh ax \, dx = - {\ frac {2x \ cosh ax} {a ^ {2}}} + \ left ({\ frac {x ^ {2}} {a}} + {\ frac {2} {a ^ {3}}} \ right) \ sinh ax + C}$ ${ \ displaystyle \ int x ^ {2} \ cosh ax \, dx = - {\ frac {2x \ cosh ax} {a ^ {2}}} + \ left ({\ frac {x ^ {2}} {a }} + {\ frac {2} {a ^ {3}}} \ right) \ sinh ax + C}$

$∫ (ch ⁡ ax) (ch ⁡ bx) dx знак равно 1 a 2 - b 2 (a (sinh ⁡ ax) (cosh ⁡ bx) - b (sinh ⁡ bx) (cosh ⁡ ax)) + C (для a 2 ≠ b 2) {\ displaystyle \ int (\ cosh ax) (\ cosh bx) \, dx = {\ frac {1} {a ^ {2} -b ^ {2}}} {\ big (} a (\ sinh ax) (\ cosh bx) -b (\ sinh bx) (\ ch ax) {\ big)} + C \ qquad {\ t_dv {(для}} a ^ {2} \ neq b ^ {2} {\ t_dv {) }}}$ ${\ displaystyle \ int (\ cosh ax) (\ cosh bx) \, dx = {\ frac {1} {a ^ {2} -b ^ {2}}} {\ big (} a (\ sinh ax) (\ cosh bx) -b (\ sinh bx) (\ cosh ax) {\ big)} + C \ qquad {\ t_dv {(для}} a ^ {2} \ neq b ^ {2} {\ t_dv {)}} }$

$∫ dx 1 + cosh ⁡ (ax) = 2 a 1 1 + e - ax + C {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1+ \ cosh (ax)}} = {\ frac {2} {a}} {\ frac {1} {1 + e ^ {- ax}}} + C}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1+ \ cosh ( ax)}} = {\ frac {2} {a}} {\ frac {1} {1 + e ^ {- ax}}} + C}$ или $2 a {\ displaystyle {\ frac {2} { a}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {a}}}$ раз Логистическая функция

Другие интегралы

Интегралы функций гиперболического тангенса, котангенса, секанса и косеканса

$∫ tanh ⁡ xdx = ln ⁡ ch ⁡ Икс + С {\ Displaystyle \ int \ tanh x \, dx = \ ln \ cosh x + C}$ $\ int \ tanh x \, dx = \ ln \ cosh x + C$

$∫ tanh 2 ⁡ axdx = x - tanh ⁡ axa + C {\ displaystyle \ int \ tanh ^ {2 } ax \, dx = x - {\ frac {\ tanh ax} {a}} + C}$ ${\ displaystyle \ int \ tanh ^ {2} ax \, dx = x - {\ frac {\ tanh ax} {a}} + C}$

$∫ tanh n ⁡ axdx = - 1 a (n - 1) tanh n - 1 ⁡ ax + ∫ tanh n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int \ tanh ^ {n} ax \, dx = - {\ frac {1} {a (n-1)}} \ tanh ^ {n-1} ax + \ int \ tanh ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$ ${\ displaystyle \ int \ tanh ^ {n} ax \, dx = - {\ frac {1} {a (n-1)}} \ tanh ^ {n-1} ax + \ int \ tanh ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv { (для}} п \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$

$∫ coth ⁡ xdx = ln ⁡ | sh ⁡ x | + С, для Икс ≠ 0 {\ Displaystyle \ int \ coth x \, dx = \ ln | \ sinh x | + C, {\ text {for}} x \ neq 0}$ $\ int \ coth x \, dx = \ ln | \ sinh x | + C, {\ text {for}} x \ neq 0$

$∫ coth n ⁡ axdx = - 1 a (n - 1) coth n - 1 ⁡ ax + ∫ coth n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int \ coth ^ {n} ax \, dx = - {\ frac {1 } {a (n-1)}} \ coth ^ {n-1} ax + \ int \ coth ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$ ${\ displaystyle \ int \ coth ^ {n} ax \, dx = - {\ frac {1} {a (n-1)}} \ coth ^ {n-1} ax + \ int \ coth ^ {n-2} ax \, dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}$

$∫ sech xdx = arctan (sinh ⁡ x) + C {\ displaystyle \ int \ operatorname {sech} \, x \, dx = \ arctan \, (\ sinh x) + C}$ $\ int \ operatorname {sech} \, x \, dx = \ arctan \, (\ sinh x) + C$

$∫ csch xdx = ln ⁡ | tanh ⁡ x 2 | + C, для x ≠ 0 {\ displaystyle \ int \ operatorname {csch} \, x \, dx = \ ln \ left | \ tanh {x \ over 2} \ right | + C, {\ text {for}} x \ neq 0}$ $\ int \ operatorname {csch} \, x \, dx = \ ln \ left | \ tanh {x \ over 2} \ right | + C, {\ text {for}} x \ neq 0$

Интегралы с функциями гиперболического синуса и косинуса

$∫ (ch ⁡ ax) (sinh ⁡ bx) dx = 1 a 2 - b 2 (a (sinh sin ax) (sinh sin bx) - б (сп ⁡ топор) (сп ⁡ bx)) + С (для a 2 ≠ b 2) {\ displaystyle \ int (\ cosh ax) (\ sinh bx) \, dx = {\ frac {1} {a ^ {2} -b ^ {2}}} {\ big (} a (\ sh ax) (\ sinh bx) -b (\ cosh ax) (\ cosh bx) {\ big)} + C \ qquad {\ t_dv {(for}} a ^ {2} \ neq b ^ {2} {\ t_dv {)}}}$ ${ \ Displaystyle \ Int (\ соз топор) (\ зп bx) \, dx = {\ гидроразрыва {1} {а ^ {2} -b ^ {2}}} {\ big (} а (\ зп топор) ( \ sinh bx) -b (\ cosh ax) (\ ch bx) {\ big)} + C \ qquad {\ t_dv {(для}} a ^ {2} \ neq b ^ {2} {\ t_dv {) }}}$

$∫ ch n ⁡ ax sinh m ⁡ axdx = cosh n - 1 ⁡ axa (n - m) зп м - 1 ⁡ топор + N - 1 N - м ∫ сш п - 2 ⁡ топор зп м ⁡ axdx (для м ≠ п) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cosh ^ {n} ax} {\ зп ^ {m} ax}} dx = {\ frac {\ cosh ^ {n-1} ax} {a (нм) \ sinh ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n-1} {нм }} \ int {\ frac {\ cosh ^ {n-2} ax} {\ sinh ^ {m} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} m \ neq n {\ t_dv {)}} }$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cosh ^ {n} ax} {\ sinh ^ {m} ax}} dx = {\ frac {\ ch ^ {n-1} ax} {a (нм) \ sinh ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n-1} {нм }} \ int {\ frac {\ cosh ^ {n-2} ax} {\ sinh ^ {m} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} m \ neq n {\ t_dv {)}} }$

также:

∫ ch n ⁡ ax sinh m ⁡ axdx = - ch n + 1 ⁡ axa (m - 1) sh m - 1 ⁡ ax + n - m + 2 m - 1 ∫ cosh n ⁡ топор си nh m - 2 ⁡ axdx (для m ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cosh ^ {n} ax} {\ sinh ^ {m} ax}} dx = - {\ frac {\ cosh ^ { n + 1} ax} {a (m-1) \ sinh ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n-m + 2} {m-1}} \ int {\ frac {\ cosh ^ {n} ax} {\ sinh ^ {m-2} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ ch ^ {n} ax} {\ sinh ^ {m} ax}} dx = - {\ frac {\ cosh ^ {n + 1} ax} {a (m-1) \ sinh ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n-m + 2} {m-1}} \ int {\ frac {\ ch ^ {n} ax} {\ sinh ^ {m-2} ax }} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}}}

∫ ch n ⁡ ax sinh m ⁡ axdx = - cosh n - 1 ⁡ axa (m - 1) sinh m - 1 ⁡ ax + n - 1 m - 1 ∫ cosh n - 2 ⁡ ax sinh m - 2 ⁡ axdx (для m ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ cosh ^ {n} ax} {\ sinh ^ {m} ax}} dx = - {\ frac {\ cosh ^ {n-1} ax} {a (m-1) \ sinh ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n-1} {m-1}} \ int {\ frac {\ ch ^ {n-2} ax} {\ sinh ^ {m-2} ax }} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ cosh ^ {n} ax} {\ sinh ^ {m} ax}} dx = - {\ frac {\ ch ^ {n-1} ax} {a (m-1) \ sinh ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n- 1} {m-1}} \ int {\ frac {\ cosh ^ {n-2} ax} {\ sinh ^ {m-2} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} m \ neq 1 {\ t_dv {)}}}

∫ sinh m ⁡ ax ch n ⁡ axdx = sinh m - 1 ⁡ axa (m - n) cosh n - 1 ⁡ ax + m - 1 n - m ∫ sinh m - 2 ⁡ ax cosh n ⁡ axdx (для m ≠ n) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sinh ^ {m} ax} {\ cosh ^ {n} ax}} dx = {\ frac {\ sinh ^ {m-1} ax} {a (mn) \ ch ^ {n-1} ax}} + {\ frac {m-1} {nm} } \ int {\ frac {\ sinh ^ {m-2} ax} {\ ch ^ {n} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} m \ neq n {\ t_dv {)}}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ sinh ^ {m} ax} {\ cosh ^ {n} ax}} dx = {\ frac {\ sinh ^ {m-1} ax} {a (mn) \ ch ^ {n-1} ax} } + {\ frac {m-1} {nm}} \ int {\ frac {\ sinh ^ {m-2} ax} {\ cosh ^ {n} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для} } m \ n уравнение N {\ t_dv {)}}}

∫ sinh m ⁡ ax ch n ⁡ ax dx знак равно sinh m + 1 ⁡ axa (n - 1) cosh n - 1 ⁡ ax + m - n + 2 n - 1 ∫ sinh m ⁡ ax cosh n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sinh ^ {m} ax} {\ ch ^ {n} ax}} dx = {\ frac {\ sinh ^ {m + 1} ax} {a (n-1) \ cosh ^ {n -1} ax}} + {\ frac {m-n + 2} {n-1}} \ int {\ frac {\ sinh ^ {m} ax} {\ cosh ^ {n-2} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(for}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ sinh ^ {m} ax} {\ cosh ^ {n} ax}} dx = {\ frac {\ sin h ^ {m + 1} ax} {a (n-1) \ ch ^ {n-1} ax}} + {\ frac {m-n + 2} {n-1}} \ int {\ frac { \ sinh ^ {m} ax} {\ cosh ^ {n-2} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}

∫ sinh m ⁡ ax ch n ⁡ axdx = - sh m - 1 ⁡ axa (n - 1) cosh n - 1 ⁡ ax + m - 1 n - 1 ∫ sinh m - 2 ⁡ ax cosh n - 2 ⁡ axdx (для n ≠ 1) {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sinh ^ {m} ax} {\ cosh ^ {n} ax}} dx = - {\ frac {\ sinh ^ {m-1} ax} {a (n-1) \ ch ^ {n-1} ax}} + {\ frac {m-1} {n-1}} \ int {\ frac {\ sinh ^ {m-2} ax} {\ cosh ^ {n-2} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 { \ t_dv {)}}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ sinh ^ {m} ax} {\ cosh ^ {n} ax}} dx = - {\ frac {\ sinh ^ {m-1} ax} {a (n-1) \ ch ^ {n-1} ax}} + {\ frac {m-1} {n-1}} \ int {\ frac {\ sinh ^ {m-2} ax} {\ cosh ^ {n-2} ax}} dx \ qquad {\ t_dv {(для}} n \ neq 1 {\ t_dv {)}}}

Интегралы, включающие гиперболические и тригонометрические функции

$∫ sinh ⁡ (ax + b) sin ⁡ (cx + d) dx = aa 2 + c 2 ch (ax + b) sin ⁡ (cx + d) - ca 2 + c 2 sinh ⁡ (ax + b) cos ⁡ (cx + d) + C {\ displaystyle \ int \ sinh (ax + b) \ sin (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ ch (ax + b) \ sin ( cx + d) - {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ sinh (ax + b) \ cos (cx + d) + C}$ ${\ displaystyle \ int \ sinh (ax + b) \ sin (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ ch (ax + b) \ sin (cx + d) - {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ sinh (ax + b) \ cos (cx + d) + C}$

$∫ sinh ⁡ (ax + b) cos ⁡ (cx + d) dx = aa 2 + c 2 ch ⁡ (ax + b) cos ⁡ (cx + d) + ca 2 + c 2 sinh ⁡ (ax + b) sin ⁡ (cx + d) + C {\ displaystyle \ int \ sinh (ax + b) \ cos (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ cosh (ax + b) \ cos (cx + d) + {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ sinh (ax + b) \ sin (cx + d) + C}$ ${\ displaystyle \ int \ sinh (ax + b) \ cos (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ cosh (ax + b) \ cos (cx + d) + {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ sinh (ax + b) \ sin (cx + d) + C}$

$∫ ch ⁡ (ax + b) sin ⁡ (cx + d) dx = aa 2 + c 2 sinh ⁡ (ax + b) sin ⁡ (cx + d) - ca 2 + c 2 cosh ⁡ (ax + b) соз ⁡ (cx + d) + C {\ displaystyle \ int \ cosh (ax + b) \ sin (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + c ^ {2} }} \ sinh (ax + b) \ sin (cx + d) - {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ cosh (ax + b) \ cos (cx + d) + C}$ ${\ displaystyle \ int \ cosh (ax + b) \ sin (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2 } + c ^ {2}}} \ sinh (ax + b) \ sin (cx + d) - {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ ch (ax + b) \ cos (cx + d) + C}$

$∫ ch ⁡ (ax + b) cos ⁡ (cx + d) dx = aa 2 + c 2 sinh ⁡ (ax + b) cos ⁡ (cx + d) + ca 2 + c 2 cosh ⁡ (ax + b) грех ⁡ (cx + d) + C {\ displaystyle \ int \ cosh (ax + b) \ cos (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ sinh (ax + b) \ cos (cx + d) + {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ ch (ax + b) \ sin (cx + d) + C}$ ${\ displaystyle \ int \ cosh (ax + b) \ cos (cx + d) \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ sinh (ax + b) \ cos (cx + d) + {\ frac {c} {a ^ {2} + c ^ {2}}} \ cosh (ax + b) \ sin (cx + d) + C}$