Группа фонарщиков

В математике, группа фонарщиков L в теории групп - это ограниченное сплетение $Z\; 2\; \wr \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; wr\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$

• 1 Введение
• 2 Презентация
• 3 Матричное представление
• 4 Обобщения
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Название группы происходит от рассмотрения группы как воздействующей на дважды бесконечную последовательность уличных фонарей $\dots ,\; l\; -\; 2,\; l\; -\; 1,\; l\; 0,\; l\; 1,\; l\; 2,\; l\; 3,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dots,\; l\; \_\; \{-\; 2\},\; l\; \_\; \{-\; 1\},\; l\_\; \{0\},\; l\_\; \{1\},\; l\_\; \{2\},\; l\_\; \{3\},\; \backslash \; dots\}$каждый из которых может быть включен или выключен, и фонарь, стоящий на какая-то лампа $лк.\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{k\}.\}$Эквивалентное описание для этого, называемое базовой группой $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$из $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$равно

$B\; =\; ⨁\; -\; \infty \; \infty \; Z\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{2\},\}$

бесконечная прямая сумма копий циклической группы $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\}$где $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \}$соответствует выключенному свету, а $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$соответствует включенному свету, и используется прямая сумма, чтобы гарантировать, что только конечное число сразу загораются огни. Элемент $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$указывает положение фонаря, а $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$указывает, какие лампы освещенный.

Есть два генератора для группы: генератор t увеличивает k, так что фонарь переходит к следующей лампе (t уменьшает k), а генератор a означает, что состояние лампы l k изменяется (с выкл. На вкл. Или с вкл. На выкл.) Групповое умножение выполняется путем "следования" этим операциям.

Мы можем предположить, что в любой момент времени горит только конечное число ламп, поскольку действие любого элемента L изменяет не более конечного числа ламп. Однако количество горящих ламп не ограничено. Таким образом, действие группы похоже на действие машины Тьюринга в двух отношениях. Машина Тьюринга имеет неограниченную память, но в любой момент времени использовала только конечный объем памяти. Более того, голова машины Тьюринга аналогична фонарщику.

Стандартное представление для группы фонарщиков вытекает из структуры изделия венка

$⟨a,\; t\; \mid \; a\; 2,\; [tmat\; -\; m,\; tnat\; -\; п],\; м,\; n\; \in \; Z⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a,\; t\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{2\},\; [t\; ^\; \{m\}\; at\; ^\; \{-\; m\},\; t\; ^\; \{n\}\; at\; ^\; \{-\; n\}],\; m,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; rangle\}$, что может быть упрощено до

$⟨a,\; t\; \mid \; a\; 2,\; (atnat\; -\; n)\; 2,\; n\; \in \; Z⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a,\; t\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{2\},\; (at\; ^\; \{n\}\; at\; ^\; \{-\; n\})\; ^\; \{2\},\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; rangle\}$.

Генераторы a и t являются неотъемлемой частью заметной скорости роста группы, хотя иногда их заменяют на a и at, изменяя логарифм скорости роста не более чем в 2 раза.

Это представление является не конечен (имеет бесконечно много отношений). Фактически не существует конечного представления для группы фонарщиков, то есть оно не конечно представленное.

, позволяющее $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- формальная переменная, группа фонарщиков $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$изоморфна группе матриц

$(tkp\; 0\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; t\; ^\; \{k\}\; p\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

где $k\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$охватывает все полиномы в $Z\; 2\; [t,\; t\; -\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\; [t,\; t\; ^\; \{-\; 1\}].\}$

Используя презентации выше, изоморфизм определяется как

$t\; \mapsto \; (t\; 0\; 0\; 1)\; a\; \mapsto \; (1\; 1\; 0\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; t\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; t\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; a\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Также можно определить группы фонарщиков $L\; n\; =\; Z\; n\; \wr \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; wr\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$, с $n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, так что «лампы» могут иметь более просто вариант "выключено" и "включено". Классическая группа фонарщиков восстанавливается, когда $n\; =\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; n\; =\; 2.\}$

1. ^Clay, Matt; Маргалит, Дан, ред. (2017-07-11). Часы работы с теоретиком геометрической группы. Принстон, штат Нью-Джерси, Оксфорд: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691158662.

• Владимир Некрашевич, 2005, Самоподобные группы, математические обзоры и монографии т. 117, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3831-8.