Уравнения Кирхгофа

редактировать

В гидродинамике уравнения Кирхгофа, названные в честь Густав Кирхгоф, опишите движение твердого тела в идеальной жидкости.

ddt ∂ T ∂ ω → = ∂ T ∂ ω → × ω → + ∂ T ∂ v → × v → + Q → h + Q →, ddt ∂ T ∂ v → = ∂ T ∂ v → × ω → + F → h + F →, T = 1 2 (ω → TI ~ ω → + mv 2) Q → h = - ∫ px → × n ^ d σ, F → час = - ∫ pn ^ d σ {\ displaystyle {\ begin {выровнено} {d \ over {dt}} {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}} }} = {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}} \ times {\ vec {\ omega}} + {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ times {\ vec {v}} + {\ vec {Q}} _ {h} + {\ vec {Q}}, \\ [10pt] {d \ over {dt}} { {\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} = {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ times {\ vec {\ omega} } + {\ vec {F}} _ {h} + {\ vec {F}}, \\ [10pt] T = {1 \ over 2} \ left ({\ vec {\ omega}} ^ {T} {\ tilde {I}} {\ vec {\ omega}} + mv ^ {2} \ right) \\ [10pt] {\ vec {Q}} _ {h} ​​= - \ int p {\ vec { x}} \ times {\ hat {n}} \, d \ sigma, \\ [10pt] {\ vec {F}} _ {h} ​​= - \ int p {\ hat {n}} \, d \ сигма \ конец {выровнено}}

{\ begin {align} {d \ over {dt}} {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}} = {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}} \ times {\ vec {\ omega}} + {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ times {\ vec {v}} + {\ vec {Q}} _ { h} + {\ vec {Q}}, \\ [10pt] {d \ over {dt}} {{ \ partial T} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} = {{\ partial T} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ times {\ vec {\ omega}} + {\ vec {F}} _ {h} + {\ vec {F}}, \\ [10pt] T = {1 \ over 2} \ left ({\ vec {\ omega}} ^ {T} { \ tilde {I}} {\ vec {\ omega}} + mv ^ {2} \ right) \\ [10pt] {\ vec {Q}} _ {h} ​​= - \ int p {\ vec {x }} \ times {\ hat {n}} \, d \ sigma, \\ [10pt] {\ vec {F}} _ {h} ​​= - \ int p {\ hat {n}} \, d \ сигма \ конец {выровнено}}

где $ω → {\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ vec {\ omega}}$ и $v → {\ displaystyle {\ vec {v }}}$ ${\ vec {v}}$ т вектор угловой и линейной скорости в точке $x → {\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ соответственно; $I ~ {\ displaystyle {\ tilde {I}}}$ ${\ tilde {I}}$ - тензор момента инерции, $m {\ displaystyle m}$ $m$ - масса тела; $n ^ {\ displaystyle {\ hat {n}}}$ ${\ hat {n}}$ - единица измерения, нормальная к поверхности тела в точке $x → {\ displaystyle {\ vec {x}} }$ ${\ vec {x}}$ ; $p {\ displaystyle p}$ $p$ - давление в этой точке; $Q → час {\ displaystyle {\ vec {Q}} _ {h}}$ ${\ vec {Q}} _ {h}$ и $F → h {\ displaystyle {\ vec {F}} _ {h}}$ ${\ vec {F}} _ {h}$ - гидродинамический момент и сила, действующие на тело, соответственно; $Q → {\ displaystyle {\ vec {Q}}}$ ${\ vec {Q}}$ и $F → {\ displaystyle {\ vec {F}}}$ ${\ vec {F}}$ аналогичным образом обозначают все остальные крутящие моменты и силы, действующие на тело. Интеграция выполняется по участку поверхности тела, подверженному воздействию жидкости.

Если тело полностью погружено в бесконечно большой объем безвихревой несжимаемой невязкой жидкости, которая находится в состоянии покоя на бесконечности, то векторы $Q → h {\ displaystyle {\ vec {Q }} _ {h}}$ ${\ vec {Q}} _ {h}$ и $F → h {\ displaystyle {\ vec {F}} _ {h}}$ ${\ vec {F}} _ {h}$ можно найти с помощью явной интеграции, а динамика тела описывается уравнениями Кирхгофа - Клебша :

ddt ∂ L ∂ ω → = ∂ L ∂ ω → × ω → + ∂ L ∂ v → × v →, ddt ∂ L ∂ v → знак равно ∂ L ∂ v → × ω →, {\ displaystyle {d \ over {dt}} {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}} } = {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}} \ times {\ vec {\ omega}} + {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v }}}} \ times {\ vec {v}}, \ quad {d \ over {dt}} {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} = {{\ partial L } \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ times {\ vec {\ omega}},}

{d \ over {dt}} {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}} = {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}} \ times {\ vec {\ omega}} + {{\ partial L} \ over {\ partial { \ vec {v}}}} \ times {\ vec {v}}, \ quad {d \ over {dt}} {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} = { {\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ times {\ vec {\ omega}},

L (ω →, v →) = 1 2 (A ω →, ω →) + (B ω →, v →) + 1 2 (C v →, v →) + (k →, ω →) + (l →, v →). {\ displaystyle L ({\ vec {\ omega}}, {\ vec {v}}) = {1 \ более 2} (A {\ vec {\ omega}}, {\ vec {\ omega}}) + (B {\ vec {\ omega}}, {\ vec {v}}) + {1 \ over 2} (C {\ vec {v}}, {\ vec {v}}) + ({\ vec { k}}, {\ vec {\ omega}}) + ({\ vec {l}}, {\ vec {v}}).}

L ( {\ vec {\ omega}}, {\ vec {v}}) = {1 \ over 2} (A {\ vec {\ omega}}, {\ vec {\ omega}}) + (B {\ vec {\ omega}}, {\ vec {v}}) + {1 \ over 2} (C {\ vec {v}}, {\ vec {v}}) + ({\ vec {k}}, { \ vec {\ omega}}) + ({\ vec {l}}, {\ vec {v}}).

Их первые интегралы равны

J 0 = (∂ L ∂ ω →, ω →) + (∂ L ∂ v →, v →) - L, J 1 = (∂ L ∂ ω →, ∂ L ∂ v →), J 2 = (∂ L ∂ v →, ∂ L ∂ v →) {\ displaystyle J_ {0} = \ left ({{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}}, {\ vec {\ omega}} \ right) + \ left ({{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}}, {\ vec {v}} \ right) -L, \ quad J_ {1} = \ left ({{\ partial L } \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}}, {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ right), \ quad J_ {2} = \ left ({{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}}, {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ right)}

J_ {0} = \ left ({{\ partial L} \ over { \ partial {\ vec {\ omega}}}}, {\ vec {\ omega}} \ right) + \ left ({{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}}, { \ vec {v}} \ right) -L, \ quad J_ {1} = \ left ({{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {\ omega}}}}}, {{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ right), \ quad J_ {2} = \ left ({{\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}}, { {\ partial L} \ over {\ partial {\ vec {v}}}} \ right)

Далее интегрирование дает явные выражения для положения и скоростей.

Источники

Кирхгоф Г. Р. Форлесунген ueber Mathematische Physik, Mechanik. Лекция 19. Лейпциг: Тойбнер. 1877.
Лэмб, Х., Гидродинамика. Шестое издание Кембриджа (Великобритания): Издательство Кембриджского университета. 1932.