Теория Кермака – МакКендрика

Теория Кермака – МакКендрика - это гипотеза, которая предсказывает количество и распределение случаев инфекционного заболевания, передаваемого через население с течением времени. Основываясь на исследованиях Рональда Росс и Хильды Хадсон, А. Г. МакКендрик и У. О. Кермак опубликовал свою теорию в серии из трех статей 1927, 1932 и 1933 годов. Хотя теория Кермака – Маккендрика действительно была источником моделей SIR и их родственников, Кермак и МакКендрик думали более тонкой и эмпирически полезной проблемы, чем простые разделенные модели, обсуждаемые здесь. Текст несколько труднее читать по сравнению с современными публикациями, но важная особенность заключается в том, что это была модель, в которой возраст заражения влиял на скорость передачи и удаления.

Эти статьи были переизданы в Bulletin of Mathematical Biology в 1991 году, поскольку они имеют огромное значение для теоретической эпидемиологии.

В своей первоначальной форме теория Кермака – МакКендрика представляет собой компартментальную модель дифференциального уравнения, которая структурирует инфицированную популяцию с точки зрения возраста заражения, при этом используя простые компартменты для людей, которые восприимчивы (S) и вылечены / удалены. (Р). Заданные начальные условия будут меняться со временем в соответствии с

$d\; S\; dt\; =\; -\; \lambda \; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dS\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; \backslash \; lambda\; S,\}$

$\partial \; i\; \partial \; t\; +\; \partial \; i\; \partial \; a\; знак\; равно\; \delta \; (a)\; \lambda \; S\; -\; \gamma \; (a)\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; i\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; i\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; =\; \backslash \; дельта\; (а)\; \backslash \; лямбда\; S-\; \backslash \; гамма\; (а)\; я,\}$

$d\; R\; dt\; =\; \int \; 0\; \infty \; \gamma \; (а)\; я\; (а,\; t)\; да,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\; \}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; gamma\; (a)\; i\; (a,\; t)\; \backslash ,\; da,\}$

где $\delta \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (a)\}$- это дельта-функция Дирака и давление заражения

$\lambda \; =\; \int \; 0\; \infty \; \beta \; (a)\; i\; (a,\; t)\; da.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; beta\; (a)\; i\; (a,\; t)\; \backslash ,\; da.\}$

Только в особом случае, когда степень удаления $\gamma \; (\; а)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (a)\}$и скорость передачи $\beta \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; (a)\}$постоянны для всех возрастов. подстановка $I\; (t)\; =\; \int \; 0\; \infty \; я\; (a,\; t)\; da\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; i\; (a,\; t)\; \backslash ,\; da\}$преобразовывают свою теорию в простую модель SIR. Эта базовая модель учитывает только события заражения и удаления, которых достаточно для описания простой эпидемии, включая пороговое условие, необходимое для начала эпидемии, но не может объяснить передачу эндемических заболеваний или повторяющиеся эпидемии.

В своих последующих статьях Кермак и МакКендрик расширили свою теорию, допустив рождение, миграцию и смерть, а также несовершенный иммунитет. В современных обозначениях их модель может быть представлена ​​как

$d\; S\; dt\; =\; b\; 0\; +\; b\; SS\; +\; b\; II\; +\; b\; RR\; -\; \lambda \; S\; -\; m\; SS,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dS\}\; \{dt\}\}\; =\; b\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{S\}\; S\; +\; b\_\; \{I\}\; I\; +\; b\_\; \{R\}\; R-\; \backslash \; lambda\; S-m\_\; \{S\}\; S,\}$

$\partial \; i\; \partial \; t\; +\; \partial \; i\; \partial \; a\; =\; \delta \; (a)\; \lambda \; (S\; +\; \sigma \; R)\; -\; \gamma \; (a)\; я\; -\; \mu \; (a)\; я\; -\; mi\; (a)\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; i\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; i\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; =\; \backslash \; delta\; (a)\; \backslash \; lambda\; (S\; +\; \backslash \; sigma\; R)\; -\; \backslash \; gamma\; (a)\; i-\; \backslash \; mu\; (a)\; i-m\_\; \{i\}\; (a)\; i,\}$

$Я\; (t)\; знак\; равно\; \int \; 0\; \infty \; я\; (a,\; t)\; da\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; i\; (a,\; t)\; \backslash ,\; da\}$

$d\; R\; dt\; Знак\; равно\; \int \; 0\; \infty \; \gamma \; (a)\; я\; (a,\; t)\; da\; -\; \sigma \; \lambda \; R\; -\; m\; RR,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; gamma\; (a)\; i\; (a,\; t)\; \backslash ,\; da-\; \backslash \; sigma\; \backslash \; lambda\; R-m\_\; \{R\}\; R,\}$

где $b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{0\}\}$- коэффициент иммиграции восприимчивых людей, b j - коэффициент рождаемости на душу населения для штата j, m j - коэффициент смертности на душу населения в штате j, $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- относительный риск заражения выздоровевших лиц с частичным иммунитетом., а давление заражения

$\lambda \; =\; \int \; 0\; \infty \; \beta \; (a)\; i\; (a,\; t)\; d\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; beta\; (a)\; i\; (a,\; t)\; \backslash ,\; da.\}$

Кермак и МакКендрик смогли показать, что он допускает стационарное решение, где заболевание носит эндемический характер, если количество восприимчивых людей достаточно велико. Эту модель сложно анализировать в ее полной общности, и остается ряд открытых вопросов относительно ее динамики.