Неопределенная сумма

В математике оператор неопределенной суммы (также известный как антиразличие оператор), обозначаемый $\sum \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\}$или $\Delta \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{-\; 1\}\}$, является линейным оператором , обратным оператору прямой разности $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$. Он относится к оператору прямой разности, поскольку неопределенный интеграл относится к производной. Таким образом,

$\Delta \; \sum \; x\; f\; (x)\; =\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; =\; f\; (x)\; \backslash ,.\}$

Более подробно, если $\sum \; xf\; (x)\; =\; F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; =\; F\; (x)\}$, тогда

$F\; (x\; +\; 1)\; -\; F\; (x)\; =\; f\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x\; +\; 1)\; -F\; (x)\; =\; f\; (x)\; \backslash ,.\}$

Если F (x) является решением этого функционального уравнения для данного f (x), то и F тоже. (x) + C (x) для любой периодической функции C (x) с периодом 1. Следовательно, каждая неопределенная сумма фактически представляет собой семейство функций. Однако решение, равное его разложению в ряд Ньютона, уникально с точностью до аддитивной константы C. Это уникальное решение может быть представлено формальной формой степенного ряда оператора антиразличия: $\Delta \; -\; 1\; =\; 1\; e\; D\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{e\; ^\; \{D\}\; -1\}\}\}$

• 1 Основная теорема дискретного исчисления
• 2 Определения
  • 2.1 Формула суммирования Лапласа
  • 2.2 Формула Ньютона
  • 2.3 Формула Фаульхабера
  • 2.4 Формула Мюллера
  • 2.5 Формула Эйлера – Маклорена
• 3 Выбор постоянного члена
• 4 Суммирование по частям
• 5 Правила периода
• 6 Альтернативное использование
• 7 Список неопределенных сумм
  • 7.1 Антиразличия рациональных функций
  • 7.2 Антиразличия экспоненциальных функций
  • 7.3 Антиразличия логарифмических функций
  • 7.4 Антиразличия гиперболических функций
  • 7.5 Антиразличия тригонометрических функций
  • 7.6 Антиразличия обратных гиперболических функций
  • 7.7 Антиразличия обратных тригонометрических функций
  • 7.8 Антиразличия специальных функций
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература

Неопределенные суммы могут использоваться для вычисления определенных сумм по формуле:

$\sum \; К\; знак\; равно\; abf\; (к)\; знак\; равно\; \Delta \; -\; 1\; е\; (b\; +\; 1)\; -\; \Delta \; -\; 1\; е\; (а)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (k)\; =\; \backslash \; Delta\; ^\; \{\; -1\}\; f\; (b\; +\; 1)\; -\; \backslash \; Delta\; ^\; \{-\; 1\}\; f\; (a)\}$

Формула суммирования Лапласа

$\sum \; xf\; (x)\; =\; \int \; 0\; xf\; (t)\; dt\; -\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; \infty \; СК\; \Delta \; К\; -\; 1\; е\; (х)\; К!\; +\; С\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; f\; (t)\; dt-\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{k\}\; \backslash \; Delta\; ^\; \{k-1\}\; f\; (x)\}\; \{k!\}\}\; +\; C\}$

где $ck\; =\; \int \; 0\; 1\; \Gamma \; (x\; +\; 1)\; \Gamma \; (x\; -\; k\; +\; 1)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (x\; +\; 1)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (x-k\; +\; 1)\}\}\; dx\}$- числа Коши первого рода, также известные как числа Бернулли второго рода.

Формула Ньютона

$\sum \; xf\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; (xk)\; \Delta \; k\; -\; 1\; [f]\; (0)\; +\; C\; знак\; равно\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; \Delta \; k\; -\; 1\; [f]\; (0)\; k!\; (Икс)\; К\; +\; С\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{х\}\; е\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; binom\; \{x\}\; \{k\}\}\; \backslash \; Delta\; ^\; \{k-1\; \}\; [f]\; \backslash \; left\; (0\; \backslash \; right)\; +\; C\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; ^\; \{k-1\}\; [f]\; (0)\}\; \{k!\}\; \}\; (x)\; \_\; \{k\}\; +\; C\}$

где $(x)\; k\; =\; \Gamma \; (x\; +\; 1)\; \Gamma \; (x\; -\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (x\; +\; 1)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (x-k\; +\; 1)\}\}\}$- это факториал падения.

Формула Фаульхабера

$\sum \; xf\; (x)\; =\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; е\; (N\; -\; 1)\; (0)\; п!\; В\; N\; (Икс)\; +\; С,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{х\}\; е\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; ^\; \{(п-1)\}\; (0)\}\; \{n!\}\}\; B\_\; \{n\}\; (x)\; +\; C\; \backslash ,,\}$

при условии, что правая часть уравнения сходится.

Формула Мюллера

Если $lim\; x\; \to \; +\; \infty \; f\; (x)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; \{+\; \backslash \; infty\}\}\; f\; (x)\; =\; 0,\}$, тогда

$\sum \; xf\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (f\; (n)\; -\; f\; (n\; +\; x))\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (f\; (n)\; -f\; (n\; +\; x)\; \backslash \; right)\; +\; C.\}$

Формула Эйлера – Маклорена

$\sum \; xf\; (x)\; =\; \int \; 0\; xf\; (t)\; dt\; -\; 1\; 2\; f\; (x)\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; B\; 2\; k\; (2\; k)!\; е\; (2\; К\; -\; 1)\; (Икс)\; +\; С\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; f\; (t)\; dt\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; f\; (x)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{2k\}\}\; \{(2k)!\}\}\; f\; ^\; \{(2k-1)\}\; (x)\; +\; C\; \}$

Часто константа C в неопределенной сумме фиксируется из следующего условия.

Пусть

$F\; (x)\; =\; \sum \; xf\; (x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; +\; C\}$

Тогда константа C фиксируется из условия

$\int \; 0\; 1\; F\; (x)\; dx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; F\; (x)\; dx\; =\; 0\}$

или

$\int \; 1\; 2\; F\; (x)\; dx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; F\; (x)\; dx\; =\; 0\}$

В качестве альтернативы можно использовать сумму Рамануджана:

$\sum \; x\; \ge \; 1\; \Re \; f\; (x)\; =\; -\; е\; (0)\; -\; F\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \backslash \; geq\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; Re\}\; f\; (x)\; =\; -\; f\; (0)\; -F\; (0)\}$

или на 1

$\sum \; x\; \ge \; 1\; \Re \; f\; (x)\; =\; -\; F\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \backslash \; geq\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; Re\}\; f\; (x)\; =\; -\; F\; (1)\}$

соответственно

Неопределенное суммирование по частям:

$\sum \; xf\; (x)\; \Delta \; g\; (x)\; =\; f\; (x)\; g\; (x)\; -\; \sum \; x\; (g\; (x)\; +\; \Delta \; g\; (x))\; \Delta \; е\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; \backslash \; Delta\; g\; (x)\; =\; f\; (x)\; g\; (x)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; (g\; (\; x)\; +\; \backslash \; Delta\; g\; (x))\; \backslash \; Delta\; f\; (x)\}$

$\sum \; xf\; (x)\; \Delta \; g\; (x)\; +\; \sum \; xg\; (x)\; \Delta \; f\; (x)\; =\; f\; (x)\; g\; (x)\; -\; \sum \; Икс\; \Delta \; е\; (Икс)\; \Delta \; г\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{х\}\; е\; (х)\; \backslash \; Дельта\; г\; (х)\; +\; \backslash \; сумма\; \_\; \{х\}\; г\; (х)\; \backslash \; Дельта\; е\; (х)\; =\; f\; (x)\; g\; (x)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; Delta\; f\; (x)\; \backslash \; Delta\; g\; (x)\}$

Определенная сумма ция по частям:

$\sum \; i\; =\; abf\; (i)\; \Delta \; g\; (i)\; =\; f\; (b\; +\; 1)\; g\; (b\; +\; 1)\; -\; f\; (a)\; g\; (a)\; -\; \sum \; i\; =\; abg\; (i\; +\; 1))\; \Delta \; е\; (я)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; а\}\; ^\; \{b\}\; е\; (я)\; \backslash \; Delta\; g\; (я)\; =\; f\; (b\; +\; 1)\; g\; (b\; +\; 1)\; -f\; (a)\; g\; (a)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; a\}\; ^\; \{b\}\; g\; (i\; +\; 1)\; \backslash \; Delta\; f\; (i)\}$

Если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- период функции $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$, тогда

$\sum \; xf\; (T\; x)\; =\; xf\; (T\; x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (Tx)\; =\; xf\; (Tx)\; +\; C\}$

Если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$является антипериодом функции $f\; (\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$, то есть $f\; (x\; +\; T)\; =\; -\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; T)\; =\; -\; f\; (x)\}$, тогда

$\sum \; xf\; (T\; x)\; =\; -\; 1\; 2\; f\; (T\; x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; f\; (Tx)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; f\; (Tx)\; +\; C\}$

Некоторые авторы используют фразу «неопределенная сумма» для описания суммы, в которой не указано числовое значение верхнего предела:

$\sum \; к\; =\; 1\; нф\; (к).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; f\; (k).\}$

В этом случае выражение F (k) в замкнутой форме для суммы является решением

$F\; (x\; +\; 1)\; -\; F\; (x)\; =\; f\; (x\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x\; +\; 1)\; -F\; (x)\; =\; f\; (x\; +\; 1)\}$

, которое называется уравнением телескопирования. Это обратная величина для оператора разницы в обратном направлении $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$. Он связан с оператором прямого антиразличия с использованием описанной ранее фундаментальной теоремы дискретного исчисления.

Это список неопределенных сумм различных функций. Не у каждой функции есть неопределенная сумма, которую можно выразить через элементарные функции.

Антиразличия рациональных функций

$\sum \; xa\; =\; ax\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; a\; =\; ax\; +\; C\}$

$\sum \; xx\; =\; x\; 2\; 2\; -\; x\; 2\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; +\; C\}$

$\sum \; xxa\; =\; B\; a\; +\; 1\; (x)\; a\; +\; 1\; +\; C,\; a\; \notin \; Z\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; x\; ^\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{a\; +\; 1\}\; (x)\}\; \{a\; +\; 1\}\}\; +\; C,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; notin\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{-\}\}$

где $B\; a\; (x)\; =\; -\; a\; \zeta \; (-\; a\; +\; 1,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{a\}\; (x)\; =\; -\; a\; \backslash \; zeta\; (-a\; +\; 1,\; x)\}$, обобщенные до действительного порядка многочлены Бернулли.

$\sum \; xxa\; =\; (-\; 1)\; a\; -\; 1\; \psi \; (-\; a\; -\; 1)\; (x)\; \Gamma \; (-\; a)\; +\; C,\; a\; \in \; Z\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; x\; ^\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{a-1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(-\; a-\; 1)\}\; (x)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (-a)\}\}\; +\; C,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{-\}\}$

где $\psi \; (n)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(n)\}\; (x)\}$- это функция полигаммы.

$\sum \; x\; 1\; x\; =\; \psi \; (x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; psi\; (x)\; +\; C\}$

, где $\psi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\}$- дигамма функция.

$\sum \; x\; B\; a\; (x)\; =\; (x\; -\; 1)\; B\; a\; (x)\; -\; aa\; +\; 1\; B\; a\; +\; 1\; (x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; B\_\; \{a\}\; (x)\; =\; (x-1)\; B\_\; \{a\}\; (x)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{a\; +\; 1\}\}\; B\_\; \{a\; +\; 1\}\; (\; x)\; +\; C\}$

Антиразличия экспоненциальных функций

$\sum \; xax\; =\; axa\; -\; 1\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; a\; ^\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{x\}\}\; \{a\; -1\}\}\; +\; C\}$

В частности,

$\sum \; x\; 2\; x\; =\; 2\; x\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; 2\; ^\; \{x\}\; =\; 2\; ^\; \{x\}\; +\; C\}$

Антиразличия логарифмических функций

$\sum \; x\; log\; b\; \; x\; =\; log\; b\; \; \Gamma \; (x)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; \backslash \; Gamma\; (x)\; +\; C\}$

$\sum \; x\; журнал\; b\; \; ax\; =\; журнал\; b\; \; (ax\; -\; 1\; \Gamma \; (x))\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; ax\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\; \}\; (a\; ^\; \{x-1\}\; \backslash \; Gamma\; (x))\; +\; C\}$

Антиразличия гиперболических функций

$\sum \; x\; sinh\; \; ax\; =\; 1\; 2\; csch\; \; (a\; 2)\; ch\; \; (a\; 2\; -\; ax)\; +\; С\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; sinh\; ax\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{csch\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{a\}\; \{2\}\}\; -\; топор\; \backslash \; справа)\; +\; C\}$

$\sum \; x\; cosh\; \; ax\; =\; 1\; 2\; csch\; \; (a\; 2)\; sinh\; \; (ax\; -\; a\; 2)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; cosh\; ax\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{csch\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; sinh\; \backslash \; left\; (ax\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\}$

$\sum \; x\; tanh\; \; ax\; =\; 1\; a\; \psi \; ea\; (x\; -\; i\; \pi \; 2\; a)\; +\; 1\; a\; \psi \; ea\; (x\; +\; i\; \pi \; 2\; a)\; -\; x\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \}\; \backslash \; tanh\; ax\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{e\; ^\; \{a\}\}\; \backslash \; left\; (x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; pi\}\; \{2a\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{e\; ^\; \{a\}\}\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; pi\}\; \{2a\}\}\; \backslash \; right)\; -x\; +\; C\}$

где $\psi \; q\; (\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{q\}\; (x)\}$- функция q-дигамма.

Антиразличия тригонометрических функций

$\sum \; x\; sin\; \; ax\; =\; -\; 1\; 2\; csc\; \; (a\; 2)\; соз\; \; (a\; 2\; -\; ax)\; +\; C,\; a\; \ne \; 2\; n\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; sin\; ax\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; csc\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\}\; -\; ax\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash ,,\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; neq\; 2n\; \backslash \; pi\}$

$\sum \; x\; cos\; \; ax\; =\; 1\; 2\; csc\; \; (a\; 2)\; sin\; \; (ax\; -\; a\; 2)\; +\; C,\; a\; \ne \; 2\; n\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; cos\; ax\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; csc\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (ax\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash ,,\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; neq\; 2n\; \backslash \; pi\}$

$\sum \; x\; sin\; 2\; \; ax\; =\; x\; 2\; +\; 1\; 4\; csc\; \; (a)\; sin\; \; (a\; -\; 2\; ax)\; +\; C,\; a\; \ne \; n\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; ax\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; csc\; (a)\; \backslash \; sin\; (a-2ax)\; +\; C\; \backslash ,\; \backslash ,,\; \backslash ,\; \backslash ,\; а\; \backslash \; neq\; n\; \backslash \; pi\}$

$\sum \; x\; cos\; 2\; \; ax\; =\; x\; 2\; -\; 1\; 4\; csc\; \; (a)\; sin\; \; (a\; -\; 2\; ax)\; +\; C,\; a\; \ne \; n\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; ax\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; csc\; (a)\; \backslash \; sin\; (a-2ax)\; +\; C\; \backslash ,\; \backslash ,,\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; neq\; n\; \backslash \; pi\}$

$\sum \; x\; загар\; \; ax\; =\; ix\; -\; 1\; a\; \psi \; e\; 2\; ia\; (x\; -\; \pi \; 2\; a)\; +\; C,\; a\; \ne \; n\; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; tan\; ax\; =\; ix\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{e\; ^\; \{2ia\}\}\; \backslash \; left\; (x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2a\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash ,,\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}$

где $\psi \; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{q\}\; (x)\}$равно функция q-дигамма.

$\sum \; x\; tan\; \; x\; =\; ix\; -\; \psi \; e\; 2\; i\; (x\; +\; \pi \; 2)\; +\; C\; =\; -\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; (\psi \; (k\; \pi \; -\; \pi \; 2\; +\; 1\; -\; z)\; +\; \psi \; (к\; \pi \; -\; \pi \; 2\; +\; z)\; -\; \psi \; (k\; \pi \; -\; \pi \; 2\; +\; 1)\; -\; \psi \; (k\; \pi \; -\; \pi \; 2))\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; tan\; x\; =\; ix-\; \backslash \; psi\; \_\; \{e\; ^\; \{2i\}\}\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; pi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; +\; 1-z\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; psi\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; pi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\})\; +\; z\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; psi\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; pi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; psi\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; pi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; +\; C\}$

$\sum \; x\; кроватка\; \; ax\; =\; -\; ix\; -\; i\; \psi \; e\; 2\; ia\; (x)\; a\; +\; С,\; a\; \ne \; N\; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; cot\; ax\; =\; -ix\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; psi\; \_\; \{e\; ^\; \{2ia\}\}\; (x)\}\; \{a\}\}\; +\; C\; \backslash ,,\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}$

Антиразличия обратных гиперболических функций

$\sum \; x\; artanh\; ax\; =\; 1\; 2\; ln\; \; (\Gamma \; (x\; +\; 1\; a)\; \Gamma \; (Икс\; -\; 1\; а))\; +\; С\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{х\}\; \backslash \; operatorname\; \{artanh\}\; \backslash ,\; ax\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\}$

Антиразличия обратные тригонометрические функции

$\sum \; x\; arctan\; \; ax\; =\; i\; 2\; ln\; \; (\Gamma \; (x\; +\; ia)\; \Gamma \; (x\; -\; ia))\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; arctan\; ax\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{a\}\})\}\; \{\backslash \; Gamma\; (x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{a\}\})\}\}\; \backslash \; справа)\; +\; C\}$

Антиразличия специальных функций

$\sum \; x\; \psi \; (x)\; =\; (x\; -\; 1)\; \psi \; (x)\; -\; x\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; (x-1)\; \backslash \; psi\; (x)\; -x\; +\; C\}$

$\sum \; x\; \Gamma \; (x)\; =\; (-\; 1)\; x\; +\; 1\; \Gamma \; (x)\; \Gamma \; (1\; -\; x,\; -\; 1)\; e\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; Gamma\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{x\; +\; 1\}\; \backslash \; Gamma\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1-x,\; -1)\}\; \{e\}\}\; +\; C\}$

где $\Gamma \; (s,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Гамма\; (s,\; x)\}$- это неполная гамма-функция.

$\sum \; x\; (x)\; a\; =\; (x)\; a\; +\; 1\; a\; +\; 1\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \}\; (x)\; \_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(x)\; \_\; \{a\; +\; 1\}\}\; \{a\; +\; 1\}\}\; +\; C\}$

где $(x)\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\; \_\; \{a\}\}$является падающим факториалом.

$\sum \; x\; sexp\; a\; \; (x)\; =\; ln\; a\; \; (sexp\; a\; \; (x))\; \prime \; (ln\; \; a)\; x\; +\; C\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \backslash \; operatorname\; \{sexp\}\; \_\; \{a\}\; (x)\; =\; \backslash \; ln\; \_\; \{a\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; operatorname\; \{sexp\}\; \_\; \{a\}\; (x))\; \text{'}\}\; \{(\backslash \; ln\; a)\; ^\; \{x\}\}\}\; +\; C\}$

(см. суперэкспоненциальную функцию )

• Неопределенное произведение
• Расчет шкалы времени
• Список производных и интегралов в альтернативных вариантах Calculi

• «Разностные уравнения: введение с приложениями», Уолтер Г. Келли, Аллан С. Петерсон, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
• Маркус Мюллер. Как добавить нецелое число членов и как произвести необычное бесконечное суммирование
• Маркус Мюллер, Дирк Шлейхер. Дробные суммы и эйлероподобные тождества
• S. П. Поляков. Неопределенное суммирование рациональных функций с дополнительной минимизацией суммируемой части. Программирование, 2008, т. 34, № 2.
• «Конечно-разностные уравнения и моделирование», Фрэнсис Б. Хильдебранд, Пренктис-Холл, 1968